Question

Укажите промежутки возрастания и убывания функции y=2xc^x

Answer 1

y'=2*c^x+2x*c^xlnc=2c^x(1+xlnc)

c^x>0

1+xlnc>0

xlnc>-1

x>-1/lnc функция возрастает

х<-1/lnc убывает

Answer 2

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции \(y = 2x \cdot c^x\), где \(c\) — это постоянное положительное число, нужно взять производную этой функции и проанализировать её поведение.

Сначала найдем производную функции \(y\). Для этого применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных):

\[y = 2x \cdot c^x\]

Используем правило производной произведения для первого слагаемого \(2x\) и для второго слагаемого \(c^x\):

1. Производная \(2x\): \[ \frac{d}{dx} (2x) = 2 \]

2. Производная \(c^x\): \[ \frac{d}{dx} (c^x) = c^x \cdot \ln(c) \]

Теперь найдем производную функции \(y = 2x \cdot c^x\) с помощью полученных производных:

\[ \frac{dy}{dx} = 2 \cdot c^x + 2x \cdot c^x \cdot \ln(c) \]

Теперь для определения интервалов возрастания и убывания функции нужно рассмотреть знак производной в различных интервалах значений \(x\) и найти точки экстремума.

1. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

\[ 2 \cdot c^x + 2x \cdot c^x \cdot \ln(c) = 0 \] \[ c^x \cdot (2 + 2x \cdot \ln(c)) = 0 \]

Учитывая, что \(c^x\) всегда положительно (так как \(c\) положительно и \(x\) может принимать любые значения), уравнение \(2 + 2x \cdot \ln(c) = 0\) должно быть равно нулю:

\[ 2 + 2x \cdot \ln(c) = 0 \] \[ x \cdot \ln(c) = -1 \] \[ x = -\frac{1}{\ln(c)} \]

2. Изучим знаки производной на интервалах между точками и за пределами этих точек.

Теперь вспомним, что \(c\) - положительное число, а это означает, что \(c^x > 0\) для всех \(x\).

Таким образом, имеем:

- При \(x < -\frac{1}{\ln(c)}\) производная положительна (\(\frac{dy}{dx} > 0\)). - При \(x > -\frac{1}{\ln(c)}\) производная отрицательна (\(\frac{dy}{dx} < 0\)).

Теперь мы можем сделать вывод относительно возрастания и убывания функции \(y = 2x \cdot c^x\):

- Функция возрастает на интервале \((- \infty, -\frac{1}{\ln(c)} )\). - Функция убывает на интервале \(( -\frac{1}{\ln(c)}, +\infty)\).