Question

1-2sin²43°/sin176°+sin4°

Answer 1

1-2sin²43°/sin176°+sin4°

$\frac{1 - 2sin^243^0}{sin176^0+sin4^0}= \\ \\ \frac{sin^243^0+cos^243^0 - 2sin^243^0}{2sin( \frac{176^0+4^0}{2} )cos( \frac{176^0-4^0}{2} )} = \\ \\ \frac{cos^243^0 - sin^243^0}{2sin90^0cos86^0} = \frac{cos86^0}{2cos86^0} =\frac{1}{2} = 0,5$

Answer 2

Давайте разберем выражение:

\[ \frac{1 - 2\sin^2(43^\circ)}{\sin(176^\circ) + \sin(4^\circ)} \]

1. Начнем с упрощения числителя: \[ 1 - 2\sin^2(43^\circ) \]

Используем тригонометрическую тождественность \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\[ 1 - 2\sin^2(43^\circ) = \cos^2(43^\circ) \]

2. Теперь заменим числитель в исходном выражении:

\[ \frac{\cos^2(43^\circ)}{\sin(176^\circ) + \sin(4^\circ)} \]

3. Теперь займемся знаменателем:

\[ \sin(176^\circ) + \sin(4^\circ) \]

Используем тригонометрическое тождество суммы синусов:

\[ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

В данном случае, \(A = 176^\circ\), \(B = 4^\circ\):

\[ \sin(176^\circ) + \sin(4^\circ) = 2\sin\left(\frac{176^\circ+4^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{176^\circ-4^\circ}{2}\right) \]

Упростим:

\[ 2\sin\left(\frac{180^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{172^\circ}{2}\right) = 2\sin(90^\circ)\cos(86^\circ) \]

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), мы получаем:

\[ 2\cos(86^\circ) \]

4. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

\[ \frac{\cos^2(43^\circ)}{2\cos(86^\circ)} \]

Мы можем упростить это, используя тот факт, что \(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\):

\[ \frac{1 - \sin^2(43^\circ)}{2\cos(86^\circ)} \]

5. Воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)\):

\[ \frac{1 - \sin^2(43^\circ)}{2\cos(86^\circ)} = \frac{\cos^2(43^\circ)}{2\cos(86^\circ)} \]

Таким образом, \( \frac{1 - 2\sin^2(43^\circ)}{\sin(176^\circ) + \sin(4^\circ)} \) упрощается до \( \frac{\cos^2(43^\circ)}{2\cos(86^\circ)} \).