Question

Решите уравнения sin^2 x - |cos x| + 1=1

Answer 1

sin^2(x)-|cosx|+1=1
sin^2(x)-|cosx|=0
1-cos^2(x)-|cosx|=0

Замена: t=|cosx|

1-t^2-t=0
t^2+t-1=0

D=1+4=5

t= (-1+√5)/2 или t=(-1-√5)/2 (второй корень исключаем, так как модуль не может быть равен отрицательному числу)

|cosx|=(-1+√5)/2

cosx=(-1+√5)/2    или   cosx=(√5-1)/2
x=+-arccos(-1+√5)/2 + 2Пk    или x=+-arccos(√5-1)/2 + 2Пk

Ответ: +-arccos(+-(-1+√5))/2 + 2Пk

Answer 2

Дано уравнение: sin^2(x) - |cos(x)| + 1 = 1

Перепишем его в виде: sin^2(x) - |cos(x)| = 0

Обратим внимание на то, что sin^2(x) всегда положительно или равно нулю, в то время как |cos(x)| может быть равно нулю или положительно.

Рассмотрим два случая:

1. |cos(x)| = 0

Это возможно только, когда cos(x) = 0. Решим это уравнение:

cos(x) = 0

x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. |cos(x)| > 0

В этом случае уравнение принимает вид: sin^2(x) - cos(x) = 0

Преобразуем его, используя тригонометрические тождества:

1 - cos^2(x) - cos(x) = 0

cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена:

D = 1 + 4 = 5

cos(x) = (-1 ± √5) / 2

x = arccos((-1 ± √5) / 2)

Таким образом, получаем два значения x:

x = arccos((-1 + √5) / 2) + 2kπ, где k - целое число x = arccos((-1 - √5) / 2) + 2kπ, где k - целое число

Итак, решения уравнения sin^2(x) - |cos(x)| + 1 = 1:

x = π/2 + kπ, где k - целое число x = arccos((-1 + √5) / 2) + 2kπ, где k - целое число x = arccos((-1 - √5) / 2) + 2kπ, где k - целое число