Question

Периметр треугольника равен 36. докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из его вершин равен больше 6.

Answer 1

Рассмотрим треугольник АВС и произвольную точку М. Пусть МВ<6 и МС<6. Докажем, что АМ >6.
При доказательстве используем неравенство треугольника.
В треуг. МВС: ВС<МВ+МС<6+6=12
В треуг. АВС: АВ+АС=Р-ВС=36-ВС>36-12=24
В треуг. АМВ: АМ>АВ-МВ
В треуг. АМС: АМ>АС-МС
Складываем последние два неравенства.
2АМ>(АВ+АС) - (МВ+МС)*. из вышенаписанного:(АВ+АС)>24,(MB+MC<12) и получаем AM>12-6=6 (мы поделили неравенство* на 2)

Answer 2

Чтобы доказать, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин треугольника больше 6, мы можем воспользоваться неравенством треугольника и допустить, что такое расстояние меньше или равно 6.

Пусть A, B и C - вершины треугольника, а P - произвольная точка на плоскости. Давайте рассмотрим два случая:

1. Случай, когда P находится внутри треугольника ABC: В этом случае расстояние от P до любой из вершин треугольника будет меньше суммы двух сторон, содержащих эту вершину. Мы можем записать это неравенство следующим образом:

PA + PB ≤ AB PB + PC ≤ BC PC + PA ≤ AC

Суммируя эти неравенства, мы получаем:

PA + PB + PB + PC + PC + PA ≤ AB + BC + AC

Упрощая это выражение, получим:

2(PA + PB + PC) ≤ AB + BC + AC

Так как периметр треугольника равен 36, то AB + BC + AC = 36. Подставляя это значение, мы получаем:

2(PA + PB + PC) ≤ 36

Делим обе части неравенства на 2:

PA + PB + PC ≤ 18

Таким образом, мы видим, что сумма расстояний от P до вершин треугольника не может быть больше 18.

2. Случай, когда P находится вне треугольника ABC: В этом случае мы можем провести линии, соединяющие P с каждой из вершин треугольника, и получить новый треугольник. Расстояние от P до каждой вершины исходного треугольника будет равно сумме расстояний от P до вершин нового треугольника. Поскольку треугольник ABC имеет периметр 36, то новый треугольник будет иметь периметр больше 36. Следовательно, сумма расстояний от P до вершин исходного треугольника будет больше 6.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин треугольника больше 6.