Question

Решите биквадратное уравнениеу^4-5у^2-36=0

Answer 1

У⁴-5у²-36=0
у²=а
а²-5а-36=0
D=25+4*36=169=13²
а₁=(5+13)/2=9               а₂=(5-13)/2=-4
у²=9                               у²=-4 нет корней  
у₁=3
у₂=-3  
Ответ: 3 и -3

Answer 2

Конечно, биквадратное уравнение имеет вид \(y^4 - 5y^2 - 36 = 0\). Чтобы решить его, можно ввести новую переменную, скажем, \(x = y^2\). Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно \(x\):

\[x^2 - 5x - 36 = 0\]

Теперь решим это уравнение как обычное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = -5\), и \(c = -36\). Подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2}\] \[x = \frac{5 \pm 13}{2}\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(x\):

\[x_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4\]

Теперь нужно вернуться к исходной подстановке \(x = y^2\) и решить уравнения относительно \(y\):

1) Для \(x = 9\): \[y^2 = 9\] \[y = \sqrt{9} \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{9}\] \[y = 3 \quad \text{или} \quad y = -3\]

2) Для \(x = -4\): \[y^2 = -4\] Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого числа (действительного или комплексного) не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение \(y^4 - 5y^2 - 36 = 0\) имеет решения: \(y = 3, y = -3\).