Question

Использовав геометрические соображения, вычислите: А) sin15 и cos15 (градусов) Б)sin22,5 и cos22,5 (градусов)

Answer 1

А)sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=√2/2*√3/2-√2/2*1/2=(√2(√3-1))/4
cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=(√2(√3+1))/4
б)
sin²22.5=(1-cos45)/2=(1-√2/2))/2=1/2-√2/4=(2-√2)/4   
sin22.5=1/2√(2-√2)cos²22.5=(1+cos45)/2=(1+√2/2))/2=1/2+√2/4=(2+√2)/4  cos22.5=1/2√(2+√2)

Answer 2

Вычисление синуса и косинуса угла 15 градусов

Для вычисления синуса и косинуса угла 15 градусов можно воспользоваться геометрическими соображениями и использовать треугольник, в котором один из углов равен 15 градусам.

А) Вычисление sin(15) и cos(15) (градусов)

Для вычисления sin(15) и cos(15) мы можем использовать треугольник, в котором угол A равен 15 градусам.

По определению синуса, sin(15) = противолежащий катет / гипотенуза, а по определению косинуса, cos(15) = прилежащий катет / гипотенуза.


В данном случае, мы можем выбрать гипотенузу равной 1 (для удобства), так как это не изменит значения синуса и косинуса. Тогда противолежащий катет будет равен sin(15), а прилежащий катет - cos(15).

Используя геометрические соображения, мы можем разбить угол A на два угла: 15 градусов и (90 - 15) = 75 градусов. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник с углами 15 градусов, 75 градусов и 90 градусов.

Теперь мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике для вычисления sin(15) и cos(15).

Из прямоугольного треугольника мы знаем, что:

- sin(15) = противолежащий катет / гипотенуза = AC / AB - cos(15) = прилежащий катет / гипотенуза = BC / AB

Так как гипотенуза равна 1, нам нужно найти значения AC и BC.

Вычисление sin(15):

Согласно тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с углом 15 градусов, мы можем записать:

- sin(15) = AC / AB

Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых один угол равен 45 градусам, а другой 30 градусов.


В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов, мы знаем, что все стороны равны, т.е. AB = AC = BC.

Таким образом, мы можем записать:

- sin(15) = AC / AB = AC / AC = 1

Таким образом, sin(15) = 1.

Вычисление cos(15):

Теперь давайте вычислим cos(15) с помощью прямоугольного треугольника с углом 15 градусов.

Мы можем использовать те же самые прямоугольные треугольники, что и раньше:


В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов, мы знаем, что все стороны равны, т.е. AB = AC = BC.

Таким образом, мы можем записать:

- cos(15) = BC / AB = BC / BC = 1

Таким образом, cos(15) = 1.

Б) Вычисление sin(22.5) и cos(22.5) (градусов)

Аналогично, мы можем использовать геометрические соображения и разбить угол 22.5 градусов на два угла: 15 градусов и 7.5 градусов. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник с углами 15 градусов, 7.5 градусов и 90 градусов.

Вычисление sin(22.5):

Для вычисления sin(22.5) мы можем использовать треугольник, аналогичный предыдущему случаю с углом 15 градусов.

Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых один угол равен 45 градусам, а другой 22.5 градусов.


В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов, мы знаем, что все стороны равны, т.е. AB = AC = BC.

Таким образом, мы можем записать:

- sin(22.5) = AC / AB

Мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике с углом 22.5 градусов:

- sin(22.5) = AC / AB = (AC + BC) / AB = (AC + AC) / AB = 2AC / AB

В предыдущем случае мы вычислили, что sin(15) = 1, поэтому:

- sin(22.5) = 2 * sin(15) = 2 * 1 = 2

Таким образом, sin(22.5) = 2.

Вычисление cos(22.5):

Теперь давайте вычислим cos(22.5) с помощью прямоугольного треугольника с углом 22.5 градусов.

Мы можем использовать те же самые прямоугольные треугольники, что и раньше:


В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов, мы знаем, что все стороны равны, т.е. AB = AC = BC.

Таким образом, мы можем записать:

- cos(22.5) = BC / AB = (AC + BC) / AB = (BC + BC) / AB = 2BC / AB

В предыдущем случае мы вычислили, что cos(15) = 1, поэтому:

- cos(22.5) = 2 * cos(15) = 2 * 1 = 2

Таким образом, cos(22.5) = 2.

Результаты:

А) sin(15) = 1, cos(15) = 1 Б) sin(22.5) = 2, cos(22.5) = 2