Question

Помогите решить cos2x=√2(cos x-sin x)

Answer 1

 cos2x=√√2(cos x-sin x)
 cos2x - √2(cos x-sin x) = 0
Сos²x - Sin²x  - √2(cos x-sin x)= 0
(Cosx - Sin x)(Cosx + Sin x) - √2(cos x-sin x) = 0
(Cos x - Sin x)(Cos x + Sinx -√2) = 0
Cos x - Sin x = 0 | : Сos x ≠0   или    Сos x + Sin x - √2 = 0
1 - tg x = 0                            (1-tg²x/2)/(1 + tg²x/2)+2tgx/2/(1 + tg²x/2)= √2
tgx = 1                                   tgx/2 = 0      или         tgx/2 = 1
x = π/4 + πk , k ∈Z                x/2 = πn, n ∈Z            x/2 = π/4 + πm, m ∈Z
                                              х = 2πn, n ∈Z             x = π/2 + 2πm, m∈Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение: cos(2x) = √2(cos(x) + sin(x))

Шаг 1: Приведение косинуса двойного угла

Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем преобразовать левую часть уравнения:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2cos^2(x) - 1 = √2(cos(x) + sin(x))

Шаг 2: Приведение правой части уравнения

Для удобства умножим обе части уравнения на √2:

2√2cos^2(x) - √2 = 2(cos(x) + sin(x))

Шаг 3: Приведение к квадратному уравнению

Теперь мы можем преобразовать уравнение в квадратное уравнение, заменив cos(x) на y:

2√2y^2 - √2 = 2(y + sin(x))

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Преобразуем квадратное уравнение и решим его:

2√2y^2 - 2y - √2 = 0

Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения значения y:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Для нашего уравнения, a = 2√2, b = -2, c = -√2:

y = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4(2√2)(-√2))) / (2(2√2)) y = (2 ± √(4 + 16)) / (4√2) y = (2 ± √20) / (4√2) y = (2 ± 2√5) / (4√2) y = (1 ± √5) / (2√2)

Шаг 5: Возвращение к исходной переменной

Теперь, зная значения y, мы можем найти cos(x):

cos(x) = y

cos(x) = (1 ± √5) / (2√2)

Шаг 6: Нахождение значений x

Чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные функции для косинуса:

x = arccos(cos(x))

x = arccos((1 ± √5) / (2√2))

Таким образом, мы получаем два значения для x, одно с плюсом и одно с минусом перед корнем из 5.

В итоге, решение данного уравнения будет иметь вид:

x = arccos((1 + √5) / (2√2)) или x = arccos((1 - √5) / (2√2))