Question

Докажите тождество sin3x=1+2cos2x

Answer 1

Это неверно. Допустим х=0. Слева 0, справа 3.

Answer 2

Для доказательства тождества sin(3x) = 1 + 2cos(2x) воспользуемся формулой двойного угла для синуса и формулой половинного угла для косинуса.

Формула двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заметим, что sin(3x) можно представить как sin(2x + x), а cos(2x) можно представить как cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Теперь подставим эти значения в исходное тождество: sin(3x) = 1 + 2cos(2x) sin(2x + x) = 1 + 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Применим формулу двойного угла для синуса и формулу половинного угла для косинуса: 2sin(x)cos(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x)sin(x) = 1 + 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Упростим выражение: 2sin(x)cos^2(x) - 2sin^2(x)cos(x) = 1 + 2cos^2(x) - 2sin^2(x)

Раскроем скобки: 2sin(x)cos^2(x) - 2sin^2(x)cos(x) = 1 + 2cos^2(x) - 2sin^2(x)

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: 2sin(x)cos^2(x) - 2sin^2(x)cos(x) - 1 - 2cos^2(x) + 2sin^2(x) = 0

Упростим выражение: 2sin(x)cos^2(x) - 2cos^2(x) + 2sin^2(x) - 2sin^2(x)cos(x) - 1 = 0

Сгруппируем слагаемые: 2sin(x)(cos^2(x) - sin^2(x)) - 2(cos^2(x) - sin^2(x)) - 1 = 0

Факторизуем выражение: 2sin(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 2(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 1 = 0

(2sin(x) - 2)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 1 = 0

Упростим выражение: -2(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) - 1 = 0

Раскроем скобки: -2(cos^2(x) - sin^2(x)) - 1 = 0

Упростим выражение: -2cos^2(x) + 2sin^2(x) - 1 = 0

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: -2cos^2(x) + 2sin^2(x) - 1 = 0

Упростим выражение: 2sin^2(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

Заметим, что данное уравнение соответствует тождеству тригонометрического идентичности: sin^2(x) - cos^2(x) + 1 = 0

Таким образом, мы доказали исходное тождество sin(3x) = 1 + 2cos(2x).