Question

Решите систему уравнений. X^2-2XY+Y^2=49X-3Y=1

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

X=1+3y

(x-y)^2=49
(1+3y-y)^2=49
1+2y=7
y=3

x=1+3*3=10
проверка: 10^2-2*10*3+9=100-60+9=49

Answer 3

Давайте решим данную систему уравнений. У нас есть два уравнения:

1. \(X^2 - 2XY + Y^2 = 49\) 2. \(-3X + Y = 1\)

Мы можем воспользоваться различными методами решения систем уравнений. Один из способов - метод подстановки или метод исключения.

Давайте воспользуемся методом исключения. Для этого давайте избавимся от одной из переменных в одном из уравнений. Мы можем избавиться от переменной \(Y\) во втором уравнении, например.

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициент при \(Y\) совпал с коэффициентом в первом уравнении:

Уравнение 1: \(X^2 - 2XY + Y^2 = 49\) Уравнение 2: \(-6X + 2Y = 2\)

Теперь сложим оба уравнения:

\((X^2 - 2XY + Y^2) + (-6X + 2Y) = 49 + 2\)

После сложения получаем:

\(X^2 - 8X + Y^2 = 51\)

Теперь у нас есть новое уравнение:

3. \(X^2 - 8X + Y^2 = 51\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(X^2 - 2XY + Y^2 = 49\) 2. \(X^2 - 8X + Y^2 = 51\)

Вычитаем уравнение 1 из уравнения 3:

\((X^2 - 8X + Y^2) - (X^2 - 2XY + Y^2) = 51 - 49\)

Упростим:

\(-6X + 2XY = 2\)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(-3X + Y = 1\) 2. \(-6X + 2XY = 2\)

Давайте решим эту систему. Выразим \(Y\) из первого уравнения:

\(Y = 3X + 1\)

Теперь подставим это значение \(Y\) во второе уравнение:

\(-6X + 2X(3X + 1) = 2\)

Раскроем скобки и упростим:

\(-6X + 6X^2 + 2X = 2\)

Сгруппируем члены:

\(6X^2 - 4X - 2 = 0\)

Разделим все члены на 2:

\(3X^2 - 2X - 1 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

\[X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где у нас уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -1\).

\[X = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}\]

\[X = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}\]

\[X = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6}\]

\[X = \frac{2 \pm 4}{6}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(X\):

1. \(X = \frac{1}{3}\) 2. \(X = -1\)

Теперь подставим каждое значение \(X\) обратно в уравнение \(Y = 3X + 1\) для нахождения соответствующих значений \(Y\):

1. При \(X = \frac{1}{3}\): \(Y = 3 \cdot \frac{1}{3} + 1 = 2\) 2. При \(X = -1\): \(Y = 3 \cdot (-1) + 1 = -2\)

Итак, у нас есть две пары решений для системы уравнений:

1. \(X = \frac{1}{3}\), \(Y = 2\) 2. \(X = -1\), \(Y = -2\)