Question

Дана функция F(x) = x^3 - 3x Найдите: Промежутки возрастания функции Точки минимума и значения функции в этих точках Наибольшее значение f на отрезке 0;3

Answer 1

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, для чего приравняем нулю значение функции.
F(x)=0; x³-3x=0; x(x²-3)=0 ⇒ x1=0; x2=-√3; x3=√3
Три точки разобьют числовую ось на 4 отрезка; проверим знак F(x) на каждом из них.
-∞ -------- √3 ++++++ 0 ----------- √3 +++++++ +∞
Видно, что функция трижды меняет знак.
2. Найдем первую производную F(x) и приравняем её нулю. Решение полученного уравнения даст точки локальных экстремумов.
F'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1); F'(x)=0; ⇒ x1=-1, x2=1
3. Найдем вторую производную F''(x) и приравняем её нулю. Найденные корни уравнения дадут точки, где функция имеет перегиб. Вычислив значение F''(x) при х=0 и х=1/3, определим минимум или максимум достигается в точке.
F''(x)=6x-1; F''(x)=0; 6x-1=0 ⇒ x=1/6 - точка перегиба.
F''(-1)=-7 <0 т.е функция в этой точке имеет максимум и выпуклая.
F''(1)=6-1=5 >0, т.е функция имеет минимум и вогнутая.
-∞ .............. -1 ..................... 1 .................... +∞
   возрастает       убывает            возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания функции и точек минимума необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции F(x): F'(x) = 3x^2 - 3. 2. Решите уравнение F'(x) = 0, чтобы найти критические точки. 3. Используйте вторую производную для определения характера точек (минимум, максимум, точка перегиба).

Начнем с первого шага:

1. Найдем производную F(x): \[ F'(x) = 3x^2 - 3 \]

2. Решим уравнение \( F'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \).

3. Используем вторую производную, чтобы определить характер точек:

\[ F''(x) = 6x \]

Для точки \( x_1 = 1 \): \( F''(1) = 6 \cdot 1 = 6 \) (положительное значение). Это означает, что в точке \( x_1 = 1 \) функция имеет локальный минимум.

Для точки \( x_2 = -1 \): \( F''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 \) (отрицательное значение). Это означает, что в точке \( x_2 = -1 \) функция имеет локальный максимум.

Таким образом, у нас есть одна точка минимума (1, F(1)) и одна точка максимума (-1, F(-1)).

Теперь найдем значение функции в этих точках:

Для точки минимума (1, F(1)): \[ F(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 \]

Для точки максимума (-1, F(-1)): \[ F(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2 \]

Таким образом, точка минимума: (1, -2), а точка максимума: (-1, 2).

Наибольшее значение функции на отрезке [0, 3]:

Исследуем значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках.

Для \( x = 0 \): \[ F(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \]

Для \( x = 3 \): \[ F(3) = 3^3 - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18 \]

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0, 3] равно 18 и достигается при \( x = 3 \).