Question

Помогите пожалуйста решите уравнения:а)под корнем 5^x=625 б) 2sin(3x-/4)+1=0 в) 2sin^2_x+3cos x=0 г) ^3 под корнем 1-x=2

Answer 1

Первый 5^×=625
5^×=5^4
х=4

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое уравнение.

a) \( \sqrt{5^x} = 625 \)

1. Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 5^x = 625^2 \]

2. Разложим 625 на простые множители: \[ 625 = 5^4 \]

3. Подставим это значение: \[ 5^x = (5^4)^2 \]

4. Упростим: \[ 5^x = 5^8 \]

5. Теперь уравнение принимает вид: \[ x = 8 \]

б) \( 2\sin\left(\frac{3x}{4}\right) + 1 = 0 \)

1. Выразим \(\sin\left(\frac{3x}{4}\right)\): \[ 2\sin\left(\frac{3x}{4}\right) = -1 \]

2. Разделим обе стороны на 2: \[ \sin\left(\frac{3x}{4}\right) = -\frac{1}{2} \]

3. Теперь найдем угол, чей синус равен \(-\frac{1}{2}\). Обычно это \(-\frac{\pi}{6}\). 4. Составим уравнение: \[ \frac{3x}{4} = -\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

5. Решим уравнение относительно \(x\): \[ x = -\frac{4}{3}\left(\frac{\pi}{6} - k\pi\right) \]

в) \( 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 \)

1. Используем тригонометрическую тождества для замены \(\sin^2 x\) на \(1 - \cos^2 x\): \[ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \]

2. Разложим и упростим: \[ 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \]

3. Приведем уравнение к квадратному виду: \[ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение относительно \(\cos x\): \[ \cos x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{4} \]

5. Вычислим корни: \[ \cos x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} \]

Получаем два возможных значения для \(\cos x\): \[ \cos x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = -1 \]

6. Теперь найдем соответствующие значения \(x\) для каждого случая: - Если \(\cos x = \frac{1}{2}\), то \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). - Если \(\cos x = -1\), то \(x = \pi + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

г) \( \sqrt[3]{1 - x} = 2 \)

1. Возводим обе стороны уравнения в куб: \[ 1 - x = 2^3 \]

2. Упростим: \[ 1 - x = 8 \]

3. Решим уравнение относительно \(x\): \[ x = 1 - 8 = -7 \]

Таким образом, решения уравнений: - а) \(x = 8\), - б) \(x = -\frac{4}{3}\left(\frac{\pi}{6} - k\pi\right)\), - в) \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(x = \pi + 2k\pi\) (где \(k \in \mathbb{Z}\)), - г) \(x = -7\).