Question

25 баллов!! 1)5 sin^2 x - 5 sin x cos x - 2 cos^2 x = 0 2)(1+sin x)([корень из2 cos x-1)=0 3)2 sin^2 x+5 sin x=0 Хотя бы 1 из заданий

Answer 1

1) 5sin² x - 5sinx cos x -2cos² x=0
    5sin² x  - 5 sinx cosx - 2cos²x=   0    
     cos² x         cos² x       cos²x    cos²x
5tg²x - 5tgx -2=0
Пусть у=tgx
5y²-5y-2=0
D=25-4*5*(-2)=25+40=65
y₁=5-√65 =0.5 - 0.1√65
       10
y₂=0.5+0.1√65

tgx=0.5-0.1√65
x=arctg(0.5-0.1√65)+πn

tgx=0.5+0.1√65
x=arctg(0.5+0.1√65)+πn

Ответ: х=arctg(0.5-0.1√65)+πn
           x=arctg(0.5+0.1√65)+πn

2. (1+sinx)(√2 cosx-1)=0
1+sinx=0            √2cosx-1=0
sinx=-1               √2cosx=1
x=-π + 2πn          cosx= 1 
     2                             √2
                           cosx=√2
                                     2
                           x=+arccos(√2) + 2πn
                                             2
                           x=+ π + 2πn
                                  4
Ответ: х= -π +2πn
                 2
           x=+π +2πn
                 4

3) 2sin²x+5sinx=0
   sinx(2sinx+5)=0
   sinx=0          2sinx+5=0
   x=πn            2sinx=-5
                        sinx=-2.5
                       Так как -2,5<-1, то уравнение не имеет решений
Ответ: х=πn

Answer 2

1) Решение уравнения 5sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

Для решения данного уравнения, мы можем применить тригонометрические тождества и преобразования. Начнем с упрощения уравнения:

5sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

5(1 - cos^2(x)) - 5sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

Раскроем скобки:

5 - 5cos^2(x) - 5sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

Упростим уравнение:

-7cos^2(x) - 5sin(x)cos(x) + 5 = 0

Мы видим, что у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Для решения этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = -7, b = -5sin(x), и c = 5.

Решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

D = (-5sin(x))^2 - 4(-7)(5)

D = 25sin^2(x) + 140

Теперь рассмотрим три случая:

1. Если D > 0, то у уравнения есть два различных действительных корня. 2. Если D = 0, то у уравнения есть один действительный корень кратности два. 3. Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если D > 0:

Если D > 0, то у нас есть два различных действительных корня. Тогда мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения a = -7, b = -5sin(x), и D = 25sin^2(x) + 140:

x = (5sin(x) ± √(25sin^2(x) + 140)) / (-14)

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти, используя данную формулу.

2. Если D = 0:

Если D = 0, то у уравнения есть один действительный корень кратности два. Это означает, что уравнение имеет только одно значение для переменной x. Мы можем использовать формулу для нахождения корня квадратного уравнения:

x = -b / (2a)

Подставим значения a = -7 и b = -5sin(x):

x = (5sin(x)) / (-14)

Таким образом, уравнение имеет один действительный корень кратности два.

3. Если D < 0:

Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней. Это означает, что уравнение не имеет решений для переменной x.

2) Решение уравнения (1 + sin(x))(√(2cos(x) - 1)) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать свойства умножения и равенства нулю. Уравнение (1 + sin(x))(√(2cos(x) - 1)) = 0 будет равно нулю только если один из множителей равен нулю.

1 + sin(x) = 0

или

√(2cos(x) - 1) = 0

Решим каждое уравнение по отдельности:

1 + sin(x) = 0

Вычтем 1 с обеих сторон:

sin(x) = -1

Таким образом, уравнение sin(x) = -1 имеет решение x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

√(2cos(x) - 1) = 0

Возведем обе стороны в квадрат:

2cos(x) - 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам:

2cos(x) = 1

Разделим обе стороны на 2:

cos(x) = 1/2

Таким образом, уравнение cos(x) = 1/2 имеет решение x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

3) Решение уравнения 2sin^2(x) + 5sin(x) = 0

Для решения данного уравнения, мы можем применить свойство равенства нулю. Уравнение 2sin^2(x) + 5sin(x) = 0 будет равно нулю только если один из множителей равен нулю.

2sin^2(x) = 0

или

5sin(x) = 0

Решим каждое уравнение по отдельности:

2sin^2(x) = 0

Мы видим, что sin^2(x) = 0. Это означает, что sin(x) = 0. Таким образом, уравнение sin(x) = 0 имеет решение x = 0 + πk, где k - целое число.

5sin(x) = 0

Мы видим, что sin(x) = 0. Таким образом, уравнение sin(x) = 0 имеет решение x = 0 + πk, где k - целое число.

Таким образом, уравнение 2sin^2(x) + 5sin(x) = 0 имеет решения x = 0 + πk, где k - целое число.