Question

1. интеграл dx/2+3x^2 2. интеграл 6z^2 da/(1-2z^3)^4 пж

Answer 1

$1)\quad \int \frac{dx}{2+3x^2} =\int \frac{dx}{3(\frac{2}{3}+x^2)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2/3}}\cdot arctg \frac{x}{\sqrt{2/3}} +C=\\\\= \frac{1}{\sqrt6} \cdot arctg \frac{\sqrt3\, x}{\sqrt2} +C\\\\2)\quad \int \frac{6z^2\, dz}{(1-2z^3)^4}=\\\\=[\, t=1-2z^3\; ,\; dt=-6z^2\, dz\; ,\; dz=-\frac{dt}{6z^2} \; ,\; 6z^2\, dz=-dt\, ]=\\\\=-\int \frac{dt}{t^4} =-\int t^{-4}dt=-\frac{t^{-3}}{-3}+C=\frac{1}{3t^3}+C=\frac{1}{3(1-2z^)^3}+C$

Answer 2

Ваш вопрос касается двух интегралов. Давайте рассмотрим их по очереди и найдем их значения.

Расчет первого интеграла: ∫ dx / (2 + 3x^2)

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод замены переменной. Давайте предположим, что u = 2 + 3x^2. Тогда, дифференцируя это выражение по x, мы получим du = 6x dx. Теперь мы можем выразить dx через du, деля оба выражения на 6x: dx = du / (6x).

Подставим это в наш интеграл:

∫ dx / (2 + 3x^2) = ∫ (du / (6x)) / u

Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель интеграла на 6:

∫ dx / (2 + 3x^2) = (1/6) ∫ du / (xu)

Заметим, что x = (u - 2) / √3. Подставим это обратно в интеграл:

(1/6) ∫ du / ((u - 2) / √3 * u)

Выражение (u - 2) / √3 можно заменить на t, чтобы упростить интеграл. Заметим, что dt/dx = 1/√3, поэтому dt = (1/√3) du. Таким образом, наш интеграл становится:

(1/6) ∫ (1/√3) dt / t = (1/6√3) ∫ dt / t = (1/6√3) ln(|t|) + C

Теперь, подставим t обратно: t = (u - 2) / √3

(1/6√3) ln(|t|) + C = (1/6√3) ln(|(u - 2) / √3|) + C

Итак, значение первого интеграла равно:

∫ dx / (2 + 3x^2) = (1/6√3) ln(|(u - 2) / √3|) + C

где u = 2 + 3x^2 и C - постоянная интегрирования.

Расчет второго интеграла: ∫ 6z^2 da / (1 - 2z^3)^4

Этот интеграл сложнее, поскольку в нем присутствует переменная a. Однако мы можем применить метод частичной дробей, чтобы упростить его.

Для начала давайте рассмотрим знаменатель (1 - 2z^3)^4. Мы видим, что это многочлен 4-ой степени. Чтобы упростить его, мы можем разложить его на простые дроби. Однако, этот процесс может быть достаточно сложным и требует решения системы уравнений.

После разложения знаменателя на простые дроби, мы можем записать исходный интеграл как сумму интегралов от каждой простой дроби. Затем, мы можем интегрировать каждую простую дробь по отдельности.

Чтобы продолжить расчет, нам необходимо знать разложение на простые дроби для знаменателя (1 - 2z^3)^4. Если у вас есть это разложение или дополнительная информация, пожалуйста, предоставьте ее, и я смогу помочь вам с расчетами.

Примечание: Помните, что мои возможности включают создание текста и генерацию кода, но я не могу решить сложные системы уравнений или выполнить интегрирование, требующее разложения на простые дроби без соответствующих данных.