Question

Найдите наименьшее значение функции y = 4x - 4ln(x+7) + 6 на отрезке [-6,5; 0]

Answer 1

Y`=4x-4ln(x+7)+6    [-6,5;0]
y`=4-4/(x+7)=0
x+7=1
x=-6
y(-6,5)=4*(-6,5)-4*ln(-6.5+7)+6=-26-4*ln0,5+6=-4(5+ln0,5)≈-17,23
y(0)=4*0-4*ln(0+7)+6=4*ln7+6≈13,78
Наименьшее значение функции: -4(5+ln0,5)≈-17,23.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 4x - 4ln(x+7) + 6 на отрезке [-6,5; 0] мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = 4 - 4/(x+7)

2. Найдем критические точки, т.е. значения x, при которых производная равна нулю или не существует: 4 - 4/(x+7) = 0 4 = 4/(x+7) x + 7 = 1 x = -6

Таким образом, критическая точка находится при x = -6.

3. Теперь найдем значения функции y в критической точке и на концах отрезка [-6,5; 0]: y(-6) = 4*(-6) - 4ln((-6)+7) + 6 y(-6) = -24 - 4ln(1) + 6 y(-6) = -24 + 6 y(-6) = -18

y(0) = 4*(0) - 4ln((0)+7) + 6 y(0) = 0 - 4ln(7) + 6 y(0) = -4ln(7) + 6

4. Сравним значения функции y в критической точке и на концах отрезка: y(-6) = -18 y(0) = -4ln(7) + 6

Таким образом, наименьшее значение функции y = 4x - 4ln(x+7) + 6 на отрезке [-6,5; 0] равно -18.