Question

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

Answer 1

Ответ НЕТ НЕ МОЖЕТ 
Положим что стороны $a,b,c$ , и $a$ , тогда по неравенству треугольников и свойству геометрической прогрессии 
 $a^2+c^2=ac\\ a+c>ac$ что неверно 

А вот для какого нибудь опреленного треугольника оно верно 
Положим что $a,b,c$ стороны треугольника причем $a<b<c$,  так как в условие сказано что стороны должны составлять геометическую прогрессию  $b^2=a*c$ 
По неравенству треугольников 
 $a+\sqrt{ac}>c\\\\ a+c>\sqrt{ac}\\\\ c+\sqrt{ac}>a$
 откуда получаем что при  
 $a>0\\ 0.5a*(3-\sqrt{5})<c<0.5a*(3+\sqrt{5})$  
 То есть существует , к примеру $a=2$  $c=3$ 
 $b=\sqrt{6}$
               
 И они составляют геометрическую прогрессию , знаменатель которой 
 
 $q=\frac{3}{\sqrt{6}}$

Answer 2

Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию.

В прямоугольном треугольнике стороны обозначаются как a, b и c, где c - гипотенуза, а a и b - катеты. По теореме Пифагора, справедливо уравнение a^2 + b^2 = c^2.

Предположим, что длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Тогда можно записать a = r^n, b = r^(n+1), c = r^(n+2), где r - знаменатель прогрессии, а n - натуральное число.

Подставим эти значения в уравнение Пифагора: (r^n)^2 + (r^(n+1))^2 = (r^(n+2))^2.

Раскроем степени и упростим уравнение: r^(2n) + r^(2n+2) = r^(2n+4).

Так как r^(2n) является общим множителем слева и справа, можем сократить его: 1 + r^2 = r^4.

Полученное уравнение является квадратным относительно r. Решив его, получим значения знаменателя прогрессии r. Если найденные значения r являются положительными, то длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Если же значения r отрицательные или равны 0, то геометрическая прогрессия невозможна.

Таким образом, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию при определенных значениях знаменателя прогрессии.