Question

cos(7x-п/6)>√2/2 Решите пожалуйста

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте решим неравенство \(\cos(7x - \frac{\pi}{6}) > \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Для начала, рассмотрим значение, при котором косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Это происходит при \(\frac{\pi}{4}\) радиан (45 градусов), и также при \(\frac{3\pi}{4}\) радиан (135 градусов) и их кратных значениях. Записываем это как:

\[\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}.\]

Теперь, нам нужно рассмотреть интервалы, где \(\cos(7x - \frac{\pi}{6})\) принимает значения больше \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

1. Первый интервал: \(\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\) Решаем неравенство \(\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6}\):

\[\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6} \implies k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{5\pi}{12} \implies x > \frac{k\pi}{14} + \frac{5\pi}{84}.\]

Решаем вторую часть: \(7x - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\):

\[7x - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \implies 7x < \frac{11\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \implies x < \frac{k\pi}{14} + \frac{11\pi}{84}.\]

Таким образом, первый интервал: \(\frac{k\pi}{14} + \frac{5\pi}{84} < x < \frac{k\pi}{14} + \frac{11\pi}{84}\).

2. Второй интервал: \(\frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\)

Решаем неравенство \(\frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6}\):

\[\frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6} \implies k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{11\pi}{12} \implies x > \frac{k\pi}{14} + \frac{11\pi}{84}.\]

Решаем вторую часть: \(7x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\):

\[7x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \implies 7x < \frac{13\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \implies x < \frac{k\pi}{14} + \frac{13\pi}{84}.\]

Таким образом, второй интервал: \(\frac{k\pi}{14} + \frac{11\pi}{84} < x < \frac{k\pi}{14} + \frac{13\pi}{84}\).

3. Третий интервал: \(\frac{5\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\)

Решаем неравенство \(\frac{5\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6}\):

\[\frac{5\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{\pi}{6} \implies k\frac{\pi}{2} < 7x - \frac{13\pi}{12} \implies x > \frac{k\pi}{14} + \frac{13\pi}{84}.\]

Решаем вторую часть: \(7x - \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\):

\[7x - \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \implies 7x < \frac{15\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \implies x < \frac{k\pi}{14} + \frac{15\pi}{84}.\]

Таким образом, третий интервал: \(\frac{k\pi}{14} + \frac{13\pi}{84} < x < \frac{k\pi}{14} + \frac{15\pi}{84}\).

Теперь мы можем записать общее решение неравенства:

\[x \in \bigg( \frac{k\pi}{14} + \frac{5\pi}{84}, \frac{k\pi}{14} + \frac{11\pi}{84} \bigg) \cup \bigg( \frac{k\pi}{14} + \frac{11\pi}{84}, \frac{k\pi}{14} + \frac{13\pi}{84} \bigg) \cup \bigg( \frac{k\pi}{14} + \frac{13\pi}{84}, \frac{k\pi}{14} + \frac{15\pi}{84} \bigg), \quad k \in \mathbb{Z}.\]