Question

Знайти найменше значення функції f(x)=12sinx+5cosx

Answer 1

Это очень легко...

 

f'(x)=12cosx-5sinx=0;

12cos²(x/2)-10*sinx*cosx-12sin²(x/2)=0;

12-10tg(x/2)-12tg²(x/2)=0;

tg²(x/2)+(5/6)tg(x/2)-1=0;

d=25/36+4=169/36=13/6;

tg(x/2)=-3/2;

tg(x/2)=2/3.

(tg(x/2)-2/3)(tg(x/2)+3/2)=0;

Самое маленькое x=-b/2a=-5/12;

y=25/144-25/72-1=-25/144-1=-169/144=-(13/12)².

Answer 2

Функція f(x) = 12sin(x) + 5cos(x) є комбінацією синуса та косинуса. Щоб знайти найменше значення цієї функції, необхідно знайти мінімум виразу 12sin(x) + 5cos(x).

Метод 1: Використання тригонометричних тотожностей

Ми можемо скористатися тригонометричними тотожностями, щоб переписати функцію f(x) в іншому вигляді. Наприклад, ми можемо використати формулу суми двох кутів для переписування функції f(x):

f(x) = 12sin(x) + 5cos(x) = √(12^2 + 5^2) * (sin(x) * (12/√(12^2 + 5^2)) + cos(x) * (5/√(12^2 + 5^2))) = √(144 + 25) * (sin(x + α)), де α - кут, такий що sin(α) = 12/√(144 + 25) і cos(α) = 5/√(144