Question

F(x)= (4-x)(x+3)^2. Решите неравенство f'(x) >0.

Answer 1

$f(x)=(4-x)(x+3)^2;f'(x)=-(x+3)^2+2(4-x)(x+3)=$
$=- x^{2}-6x-9+8x+24-2 x^{2}-6x=-3 x^{2}-4x+15;$
$f'(x)>0;-3 x^{2}-4x+15>0;$
$3 x^{2}+4x-15\ \textless \ 0;D_1=4+45=49;$
$x_1= \frac{-2-7}{3}=-3;x_2= \frac{-2+7}{3}= \frac{5}{3};$
__+__-3__-__$\frac{5}{3}$ __+__
$(-3; \frac{5}{3})$

Answer 2

Для решения неравенства f'(x) > 0, где f(x) = (4-x)(x+3)^2, мы должны найти точки, где производная функции f(x) равна нулю, и определить интервалы, на которых производная положительна.

Для начала найдем производную функции f(x). Применим правило производной произведения и цепного правила:

f'(x) = (4-x)(2(x+3)) + (x+3)^2(-1) = (4-x)(2x+6) - (x+3)^2

Теперь найдем точки, где производная f'(x) равна нулю:

(4-x)(2x+6) - (x+3)^2 = 0

Раскроем скобки:

(8x + 24 - 2x^2 - 6x) - (x^2 + 6x + 9) = 0 2x^2 + 2x + 24 - x^2 - 6x - 9 = 0 x^2 - 4x + 15 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуя его, мы получим:

(x - 3)(x - 5) = 0

Отсюда следует, что x = 3 или x = 5.

Теперь мы можем определить интервалы, на которых производная f'(x) положительна или отрицательна. Для этого мы можем построить таблицу знаков:

| x | (4-x)(2x+6) - (x+3)^2 | f'(x) | ----------------------------------------------------- | x < 3 | (+)(+) - (+)^2 | (-) | | 3 < x < 5 | (+)(-) - (+)^2 | (-) | | x > 5 | (+)(-) - (+)^2 | (+) |

Из этой таблицы видно, что f'(x) > 0 на интервале x > 5.

Таким образом, решение неравенства f'(x) > 0 для функции f(x) = (4-x)(x+3)^2 состоит из интервала x > 5.

Пожалуйста, обратите внимание, что это только решение для данной функции и неравенства. Для других функций и неравенств процесс решения может отличаться.