Question

Докажите, что при любом натуральном N значение выражения (5n + 7)²(3n + 10)² делится на 4.

Answer 1

n четное -> 3n+10 четное -> все делится на 4

n нечетное -> 5n+7 четное-> все делится на 4

Answer 2

При любом натуральном N значение выражения (5n + 7)²(3n + 10)² делится на 4.

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим выражение (5n + 7)²(3n + 10)² и покажем, что оно делится на 4 при любом натуральном N.

Выражение (5n + 7)²(3n + 10)² можно раскрыть, используя правило квадрата суммы:

(5n + 7)²(3n + 10)² = (25n² + 70n + 49)(9n² + 60n + 100)

Теперь мы можем упростить это выражение, раскрывая скобки и объединяя подобные члены:

(25n² + 70n + 49)(9n² + 60n + 100) = 225n⁴ + 1500n³ + 2500n² + 630n³ + 4200n² + 7000n + 1575n² + 10500n + 17500

Затем мы можем объединить подобные члены:

225n⁴ + 2130n³ + 4125n² + 17500n + 17500

Теперь мы можем разложить это выражение на множители:

225n⁴ + 2130n³ + 4125n² + 17500n + 17500 = 225(n⁴ + 9.467n³ + 18.333n² + 77.778n + 77.778)

Теперь давайте рассмотрим выражение внутри скобок: n⁴ + 9.467n³ + 18.333n² + 77.778n + 77.778.

Мы видим, что все члены, кроме последнего, являются положительными числами, а последний член равен 77.778.

Теперь давайте рассмотрим остаток от деления этого выражения на 4.

Поскольку все члены, кроме последнего, делятся на 4 без остатка, нам нужно проверить, делится ли 77.778 на 4 без остатка.

77.778 / 4 = 19444.5

Мы видим, что результат деления не является целым числом, поэтому 77.778 не делится на 4 без остатка.

Таким образом, мы можем заключить, что выражение (5n + 7)²(3n + 10)² не делится на 4 при любом натуральном N.

Вывод: Утверждение, что при любом натуральном N значение выражения (5n + 7)²(3n + 10)² делится на 4, неверно.