Question

Решите уравнение: 16х4 − 25х2 + 9 = 0.

Answer 1

$16x^4-25x^2+9=0;\\ x^2=t;\\ t\geq0;\\ 16t^2-25t+9=0;\\ D=b^2-4\cdot a\cdot c=(-25)^2-4\cdot16\cdot9=625-576=49=(\pm7)^2;\\ t_1=\frac{-b-\sqrt D}{2\cdot a}=\frac{25-7}{2\cdot32}=\frac{18}{64}; x_1_2=\pm\sqrt{t_1};\\ t_2=\frac{-b+\sqrt D}{2\cdot a}=\frac{25+7}{2\cdot32}=\frac{32}{2\cdot32}=\frac12;\ x_34=\pm\sqrt{t_2};\\ x_1=\frac{3\sqrt2}{8};\\ x_2=-\frac{3\sqrt2}{8};\\ x_3=\frac{1}{\sqrt2};\\ x_4=-\frac{1}{\sqrt2}.$

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам необходимо представить его в квадратном виде. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменной x^2. Для этого проведем замену переменной:

Пусть t = x^2, тогда уравнение примет вид:

16t^2 - 25t + 9 = 0.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 16, b = -25, c = 9.

D = (-25)^2 - 4 * 16 * 9 = 625 - 576 = 49.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (25 + 7) / 32 = 32 / 32 = 1,

t2 = (-b - √D) / (2a) = (25 - 7) / 32 = 18 / 32 = 9 / 16.

Теперь найдем значения x, подставив найденные значения t в исходное уравнение:

1) t = 1: x^2 = 1 => x = ±1.

2) t = 9/16: x^2 = 9/16 => x = ±3/4.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 3/4, x4 = -3/4.