Question

Log ² ₃ x – log ₃x-6 > 0

Answer 1

ОДЗ: x>0
log²₃x-log₃x-6>0
(log₃x-3)(log₃x+2)>0  __+___-2___-___3__+___
log₃x<-2  x<3⁻²  x<1/9
log₃x>3   x>3³   x>27
x∈(0;1/9)∪(27;∞)

Answer 2

Данное неравенство включает логарифмы с основанием 3. Давайте рассмотрим его по шагам.

Шаг 1: Избавление от логарифмов с помощью свойств логарифмов Используем свойство логарифма, которое гласит, что logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b/c). Применяя это свойство к данному неравенству, мы получим:

log₃(x²) - log₃(x-6) > 0

Шаг 2: Применение свойства логарифма Свойство logₐ(bᵢ) = ᵢ * logₐ(b) гласит, что логарифм степени равен произведению степени и логарифма. Используя это свойство, мы можем переписать логарифмы в данном неравенстве:

2log₃(x) - log₃(x-6) > 0

Шаг 3: Объединение логарифмов Для упрощения выражения, объединим логарифмы с помощью свойства logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c):

log₃(x²/(x-6)) > 0

Шаг 4: Разрешение неравенства Теперь мы должны определить, для каких значений x выражение x²/(x-6) будет больше 0.

x²/(x-6) > 0

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Рассмотрим неравенство в трех интервалах: (-∞, 0), (0, 6) и (6, +∞).

Интервал (-∞, 0): Выберем x = -1. Подставим его в исходное неравенство:

(-1)² / ((-1) - 6) = 1 / (-7) < 0

Заметим, что значение выражения равно отрицательному числу. Следовательно, интервал (-∞, 0) не удовлетворяет данному неравенству.

Интервал (0, 6): Выберем x = 1. Подставим его в исходное неравенство:

1² / (1 - 6) = 1 / (-5) < 0

Заметим, что значение выражения равно отрицательному числу. Следовательно, интервал (0, 6) не удовлетворяет данному неравенству.

Интервал (6, +∞): Выберем x = 7. Подставим его в исходное неравенство:

7² / (7 - 6) = 49 / 1 > 0

Заметим, что значение выражения равно положительному числу. Следовательно, интервал (6, +∞) удовлетворяет данному неравенству.

Шаг 5: Ответ Исходное неравенство log₃(x²) - log₃(x-6) > 0 выполняется только для значений x, принадлежащих интервалу (6, +∞).