Question

1-sin3x=(sinx/2-cosx/2)²

Answer 1

1-sin3x=sin²x/2-2sinx/2*cosx/2+cos²x/2
1-sin3x=1-sinx
sin3x-sinx=0
2sinxcos2x=0
sinx=0⇒x=πn,n∈z
cos2x=0⇒2x=π/2+πk,k∈z⇒x=π/4+πk/2,k∈z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по частям. Первым шагом, раскроем скобки в правой части уравнения:

1 - sin(3x) = (sin(x)/2 - cos(x)/2)^2

= (sin^2(x)/4 - 2sin(x)cos(x)/4 + cos^2(x)/4)

Теперь, упростим выражение в правой части уравнения:

= sin^2(x)/4 - sin(x)cos(x)/2 + cos^2(x)/4

Теперь, подставим новое выражение в уравнение:

1 - sin(3x) = sin^2(x)/4 - sin(x)cos(x)/2 + cos^2(x)/4

Соберем все члены в левой части уравнения:

1 - sin(3x) - sin^2(x)/4 + sin(x)cos(x)/2 - cos^2(x)/4 = 0

Теперь, упростим уравнение:

4 - 4sin(3x) - sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 0

Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена:

- sin^2(x) - cos^2(x) - 4sin(3x) + 2sin(x)cos(x) + 4 = 0

Мы заметим, что - sin^2(x) - cos^2(x) = -1, так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1 по формуле тригонометрии.

Теперь уравнение становится:

-1 - 4sin(3x) + 2sin(x)cos(x) + 4 = 0

4sin(3x) - 2sin(x)cos(x) = 3

2sin(3x) - sin(x)cos(x) = 3/2

Теперь мы можем воспользоваться формулой произведения синуса и косинуса:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Изменим переменные:

2sin(3x) - sin(x)cos(x) = 3/2

sin(6x) - sin(x)cos(x) = 3/2

Мы можем использовать формулу разности синусов:

sin(a) - sin(b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2)

Подставим значения:

2sin((6x - x)/2)cos((6x + x)/2) = 3/2

2sin(5x/2)cos(7x/2) = 3/2

Теперь, разделим обе части уравнения на 2:

sin(5x/2)cos(7x/2) = 3/4

Таким образом, мы получили уравнение, которое может быть решено численно или с использованием графиков. В этом случае, изучение графиков функций sin(5x/2) и cos(7x/2) может помочь в определении значений x, удовлетворяющих уравнению.