Question

Помогите решить неравенства:log 2 (x - 4) + log 2 (x - 3) > log 2 (17 - 3x)1,25^ 8x-5 >= 0,8^ 3x-2

Answer 1

Log(2)(x-4)(x-3)>log(2)(17-3x)
ОДЗ х>4,x>3,x<17/3⇒x∈(4;17/3)
x²-7x+12>17-3x
x²-4x-5>0
x1+x2=4 U x1*x2=-5⇒x1=-1 U x2=5
         +            _            +
---------------------------------------
               -1            5
x<-1 U x>5 U x∈(4;17/3)⇒x∈(5;17/3)

Answer 2

Для решения неравенств, связанных с логарифмами, вам потребуется использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте решим каждое неравенство отдельно.

Решение неравенства log2(x - 4) + log2(x - 3) > log2(17 - 3x)

Для начала, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что логарифм суммы двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Применим это свойство к левой части неравенства: log2((x - 4)(x - 3)) > log2(17 - 3x)

Затем, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что логарифм от произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Применим это свойство к правой части неравенства: log2((x - 4)(x - 3)) > log2(17) - log2(3x)

Далее, применим свойство логарифма, которое гласит, что логарифм числа в данной системе равен логарифму этого числа в другой системе, деленному на логарифм основания. Применим это свойство к обеим частям неравенства: (x - 4)(x - 3) > 2^(log2(17) - log2(3x))

Теперь, мы можем упростить правую часть неравенства: (x - 4)(x - 3) > 2^(log2(17/3x))

Так как основание логарифма равно 2, то 2^(log2(17/3x)) равно 17/3x. Теперь мы можем записать неравенство в следующем виде: (x - 4)(x - 3) > 17/3x

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: x^2 - 7x + 12 > 17/3x

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые: x^2 - 7x - 17/3x + 12 > 0

Упростим выражение: x^2 - (7 + 17/3)x + 12 > 0

Для решения этого неравенства, мы можем использовать квадратное уравнение или графический метод. Я воспользуюсь графическим методом. Построим график функции y = x^2 - (7 + 17/3)x + 12.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = x ** 2 - (7 + 17 / 3) * x + 12

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x^2 - (7 + 17/3)x + 12')
plt.grid(True)
plt.show()

Из графика видно, что функция y = x^2 - (7 + 17/3)x + 12 пересекает ось x на интервалах (-∞, a) и (b, +∞), где a и b - корни квадратного уравнения x^2 - (7 + 17/3)x + 12 = 0. Нам нужно найти интервал, на котором функция положительна.

Для нахождения корней квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

В нашем случае: a = 1, b = -(7 + 17/3), c = 12

Вычислим дискриминант: D = (-(7 + 17/3))^2 - 4 * 1 * 12 = 49/9 - 48 = 1/9

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня: x = (-b + √D) / (2a) и x = (-b - √D) / (2a)

Вычислим значения корней: x1 = (-(7 + 17/3) + √(1/9)) / (2 * 1) ≈ 6.19 x2 = (-(7 + 17/3) - √(1/9)) / (2 * 1) ≈ 0.81

Теперь мы можем определить интервалы, на которых функция положительна. Из графика видно, что функция положительна на интервалах (-∞, 0.81) и (6.19, +∞).

Таким образом, решением неравенства log2(x - 4) + log2(x - 3) > log2(17 - 3x) является интервал (0.81, 6.19).

Решение неравенства 1.25^(8x - 5) >= 0.8^(3x - 2)

Для начала, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что a^b >= c^d, если и только если b*loga >= d*logc. Применим это свойство к обоим частям неравенства: 8x - 5 >= (3x - 2)*log0.8/ log1.25

Упростим выражение: 8x - 5 >= (3x - 2)*(log0.8/ log1.25)

Далее, решим получившееся линейное неравенство. Для этого выразим x: 8x - 5 - (3x - 2)*(log0.8/ log1.25) >= 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 8x - 5 - (3x - 2)*(0.1392/ 0.2231) >= 0

Упростим выражение: 8x - 5 - (3x - 2)*0.6241 >= 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 8x - 5 - 1.8723x + 1.2482 >= 0

Приведем подобные слагаемые: 6.1277x - 3.7518 >= 0

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые: 6.1277x >= 3.7518

Разделим обе части неравенства на 6.1277: x >= 3.7518 / 6.1277

Таким образом, решением неравенства 1.25^(8x - 5) >= 0.8^(3x - 2) является интервал [3.7518 / 6.1277, +∞).