Question

Решите неравенство 6^x+2x<216

Answer 1

6⁽ˣ+²ˣ⁾<216
6³ˣ<6³
3x<3  |÷3
x<1.
Ответ: x∈(-∞;1).

Answer 2

Давайте решим данное неравенство поэтапно.

Неравенство, которое мы должны решить, выглядит следующим образом: 6^x + 2x < 216.

Упрощение неравенства

Вначале приведем неравенство к более простому виду. Поскольку у нас есть сложение и возведение в степень, упростим каждую часть неравенства отдельно.

Упрощение левой части: 6^x. Поскольку основание 6 положительное число, мы можем применить логарифмы для упрощения. Возьмем логарифм по основанию 6 от обеих частей неравенства:

log6(6^x) + log6(2x) < log6(216).

Так как log6(6^x) = x, упростим левую часть неравенства:

x + log6(2x) < log6(216).

Теперь упростим правую часть неравенства:

log6(216) = log6(6^3) = 3.

Решение логарифмического неравенства

Теперь мы имеем следующее логарифмическое неравенство:

x + log6(2x) < 3.

Чтобы решить это неравенство, мы должны учесть две составляющие: значение аргумента логарифма и значение самого логарифма.

Решение аргумента логарифма

Так как аргумент логарифма log6(2x) должен быть положительным, исключим отрицательные значения и нули из рассмотрения:

2x > 0.

Это неравенство выполняется для всех положительных значений x.

Решение самого логарифма

Теперь рассмотрим значение самого логарифма log6(2x). Чтобы неравенство x + log6(2x) < 3 выполнялось, значение log6(2x) должно быть меньше 3 - x.

log6(2x) < 3 - x.

Объединение условий

Теперь объединим два неравенства:

2x > 0, log6(2x) < 3 - x.

Учитывая первое неравенство, мы можем сделать вывод, что x должно быть больше нуля.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

log6(2x) < 3 - x.

Графическое решение

Чтобы решить это неравенство, можно построить график функции y = log6(2x) и функции y = 3 - x и найти область пересечения, где y(log6(2x)) < y(3 - x).

Однако, я могу упростить процесс, используя аналитический подход.

Аналитическое решение

Решим второе неравенство аналитически.

log6(2x) < 3 - x.

Применим свойство логарифма loga(b) < c, которое говорит о том, что если логарифм числа b по основанию a меньше c, то само число b меньше a в степени c.

2x < 6^(3 - x).

Теперь приведем выражение к более простому виду:

2x < 6^3 / 6^x.

Воспользуемся свойством степени (a^b) / (a^c) = a^(b - c):

2x < 6^3-^x.

Упростим правую часть:

2x < 6^(3 - x).

Поиск решения

Теперь нам нужно найти значения x, для которых это неравенство выполняется. Мы можем использовать различные методы, такие как график или численное решение, чтобы найти приближенные значения x.

Используя численное решение, найдем значения x.

Воспользуемся программой или калькулятором, чтобы найти значения x, для которых неравенство выполняется.

Ответ: Для решения неравенства 6^x + 2x < 216, требуется использовать численные методы или программу для нахождения значений x, для которых это неравенство выполняется.