Question

Решите логарифмическое уравнение Если что-то не понятно, то словами Логарифм числа x^4 по основанию 2 = логарифм числа x по основанию 0,25 + логарифм числа 3 корня из 3 по основанию 3

Answer 1

ОДЗ : x > 0

$log _{2}x ^{4}=log _{0,25}x+log _{3}3 \sqrt{3}\\\\4log _{2}x=-2log _{2}x+log _{3}(3) ^{1,5}\\\\4log _{2}x+2log _{2}x=1,5\\\\6log _{2}x =1,5\\\\log _{2}x=0,25\\\\log _{2}x= \frac{1}{4} \\\\x= \sqrt[4]{2}$

Answer 2

Давайте решим логарифмическое уравнение, которое вы предоставили:

Логарифм числа x^4 по основанию 2 = логарифм числа x по основанию 0,25 + логарифм числа 3 корня из 3 по основанию 3

Для начала, давайте применим свойство логарифма, которое гласит:

логарифм a + логарифм b = логарифм (a * b)

Используя это свойство, мы можем объединить логарифмы на правой стороне уравнения:

логарифм числа x по основанию 0,25 + логарифм числа 3 корня из 3 по основанию 3 = логарифм (x * 3 корня из 3) по основанию 0,25

Теперь уравнение выглядит так:

логарифм числа x^4 по основанию 2 = логарифм (x * 3 корня из 3) по основанию 0,25

Далее, мы можем применить ещё одно свойство логарифма, которое гласит:

логарифм a по основанию b = логарифм a / логарифм b

Применив это свойство к обоим сторонам уравнения, мы получим:

(логарифм x^4 по основанию 2) / (логарифм 2) = (логарифм (x * 3 корня из 3) по основанию 0,25) / (логарифм 0,25)

Мы знаем, что логарифм 2 по основанию 2 равен 1, а логарифм 0,25 по основанию 0,25 также равен 1. Используя эти значения, мы можем упростить уравнение:

(логарифм x^4) / 1 = (логарифм (x * 3 корня из 3)) / 1

Теперь уравнение выглядит так:

логарифм x^4 = логарифм (x * 3 корня из 3)

Для того чтобы решить это уравнение, мы можем применить еще одно свойство логарифма:

логарифм a = логарифм b тогда и только тогда, когда a = b

Применим это свойство к нашему уравнению:

x^4 = x * 3 корня из 3

Теперь мы можем решить это уравнение. Для этого давайте возведем обе стороны в четвертую степень:

(x^4)^4 = (x * 3 корня из 3)^4

x^16 = x^4 * (3 корня из 3)^4

Далее, мы можем упростить выражение (3 корня из 3)^4:

(3 корня из 3)^4 = (3^(1/3))^4 = 3^(4/3) = 3^(1 + 1/3) = 3 * 3^(1/3)

Теперь у нас есть:

x^16 = x^4 * (3 * 3^(1/3))

Мы можем сократить x^4 на обеих сторонах уравнения:

x^16 / x^4 = 3 * 3^(1/3)

x^(16-4) = 3 * 3^(1/3)

x^12 = 3 * 3^(1/3)

Теперь мы можем возвести обе стороны уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня:

(x^12)^3 = (3 * 3^(1/3))^3

x^36 = 27 * 3

x^36 = 81

Теперь мы можем извлечь 36-ю корень из обеих сторон уравнения:

x = ∛(81)

x = 3

Таким образом, решение логарифмического уравнения x^4 по основанию 2 = логарифм числа x по основанию 0,25 + логарифм числа 3 корня из 3 по основанию 3 равно x = 3.