Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремум и эктремумы функции y=cos (x+П/4)Объясните, как это делается, пожалуйста.

Answer 1

для начала  найди производную

y'=-sin(x+П/4)

точки где производная =0 являются критическими

sin(x+П/4)=0

x+П/4=Пk

x=П(k-1/4)

y''=-cos(x+П/4)=-cos(Пk) , если к=2n y''<0  имеется максимум

                                                 k=2n+1 y''>0 имеем минимум

промежутки где первая производная больше нуля, являются промежутками возрастания

-sin(x+П/4)>0

sin(x+П/4)<0

П+2Пk<x+П/4<2П+2Пk

2Пk+3П/4<x<2Пk+7П/4

промежутки где первая производная меньше нуля функция убывает

Answer 2

Дана функция y = cos(x + П/4).

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, нужно найти производную функции и решить неравенство f'(x) > 0 или f'(x) < 0.

Найдем производную функции y = cos(x + П/4): f'(x) = -sin(x + П/4)

Теперь решим неравенство f'(x) > 0: -sin(x + П/4) > 0

Синус является положительным на промежутках, где угол находится между -П/2 и 0, или между П/2 и П. Так как у нас внутри синуса стоит x + П/4, то промежуток возрастания функции будет: -П/2 < x + П/4 < 0 -П/2 - П/4 < x < 0 - П/4 -3П/4 < x < -П/4

Решим теперь неравенство f'(x) < 0: -sin(x + П/4) < 0

Синус является отрицательным на промежутках, где угол находится между 0 и П/2, или между П и 3П/2. Так как у нас внутри синуса стоит x + П/4, то промежуток убывания функции будет: 0 < x + П/4 < П/2 0 - П/4 < x < П/2 - П/4 -П/4 < x < П/4

Теперь найдем точки экстремум функции. Для этого нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: -sin(x + П/4) = 0

Синус равен нулю при x = -П/4 и x = -3П/4.

Таким образом, точки экстремум функции y = cos(x + П/4) находятся при x = -П/4 и x = -3П/4.

Чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности каждой точки.

В окрестности x = -П/4, производная f'(x) = -sin(x + П/4) будет положительной, поскольку находится в промежутке возрастания функции. Значит, точка x = -П/4 является минимумом функции.

В окрестности x = -3П/4, производная f'(x) = -sin(x + П/4) будет отрицательной, поскольку находится в промежутке убывания функции. Значит, точка x = -3П/4 является максимумом функции.

Итак, промежутки возрастания функции y = cos(x + П/4) находятся при -3П/4 < x < -П/4, промежуток убывания функции -П/4 < x < П/4, точка минимума функции x = -П/4, и точка максимума функции x = -3П/4.