Question

Найдите наименьшее натуральное число n∈[60;70], которое нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Answer 1

Воспользуемся тем, что
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Нам надо разложить число на такие множители a и b, чтобы система имела целые решения.
{ x-y=a
{ x+y=b
Подбираем
60=2*30=256-196=16^2-14^2
61=1*61=961-900=31^2-30^2
62=2*31=1*62 - нельзя
63=3*21=144-81=12^2-9^2
64=4*16=100-36=10^2-6^2
65=5*13=81-16=9^2-4^2
66=1*66=2*33=3*22=6*11 - нельзя
67=1*67=1156-1089=34^2-33^2
68=2*34=324-256=18^2-16^2
69=3*23=169-100=13^2-10^2
70=1*70=2*35=5*14=7*10 - нельзя

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшее натуральное число n в интервале [60; 70], которое нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Для начала, давайте рассмотрим все числа в данном интервале и попробуем представить их в виде разности квадратов. Начнем с числа 60:

60 = 36 - 4 60 = 25 - (-5) 60 = 16 - (-4) 60 = 9 - (-3) 60 = 4 - (-2) 60 = 1 - (-1)

Как видим, число 60 можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Теперь давайте продолжим с числом 61:

61 = 30 - 29 61 = 16 - (-15) 61 = 10 - (-9) 61 = 6 - (-5) 61 = 3 - (-2) 61 = 1 - 0

И снова, число 61 можно представить в виде разности квадратов. Повторим этот процесс для остальных чисел в интервале:

62 = 49 - (-13) 63 = 36 - (-27) 64 = 49 - (-15) 65 = 36 - (-29) 66 = 49 - (-17) 67 = 49 - (-18) 68 = 49 - (-19) 69 = 49 - (-20) 70 = 49 - (-21)

Как видим, все числа в интервале [60; 70] можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Таким образом, в данном интервале нет натурального числа, которое нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.