Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x

Answer 1

Вначале найдем точки пересечения двух этих функций:
-x^2-4x=x
x^2+5x=0
x(x+5)=0
x=0
x=-5
Значит интегрирование будет происходить на отрезке [-5;0]
т.к. парабола ветвями вниз расположена, значит эта функция лежит выше прямой, значит вычитаем из параболы прямую
S-знак интеграла
S (-x^2-4x-x)dx=S(-x^2-5x)dx=-1/3x^3-5/2x^2
-1/3x^3-5/2x^2 |[-5;0]
по теореме Ньютона Лейбница:
Площадь =F(0) -F(-5)= 0 - (125/3 -5/2*25)=125/2-125/3=(375-250)/6=125/6

Answer 2

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения линий, решив систему уравнений:

y=-x^2-4x

y=x

Отсюда получаем:

-x^2-4x=x

x^2+5x=0

x(x+5)=0

x=0 или x=-5

Подставляя эти значения в уравнения линий, находим соответствующие значения y:

y=-0^2-4*0=0

y=0*0=0

y=-(-5)^2-4*(-5)=-25+20=-5

y=-5*1=-5

Таким образом, точки пересечения линий имеют координаты A(0,0) и B(-5,-5).

2. Найти площадь фигуры, используя формулу площади криволинейной трапеции:

S=∫[a,b] |f(x)-g(x)| dx

где f(x) и g(x) - уравнения верхней и нижней границы фигуры, а a и b - координаты точек пересечения линий.

В нашем случае, f(x)=x, g(x)=-x^2-4x, a=-5, b=0.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

S=∫[-5,0] |x-(-x^2-4x)| dx

S=∫[-5,0] |x^2+5x| dx

S=∫[-5,0] (x^2+5x) dx

S=[x^3/3+5x^2/2] |[-5,0]

S=(0^3/3+5*0^2/2)-((-5)^3/3+5*(-5)^2/2)

S=(0-0)-(125/3+125/2)

S=-250/6+125/3

S=-125/6

S≈-20.83

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x, равна примерно -20.83 квадратных единиц.