Question

В треугольнике ABC точка К лежит на стороне ВС так,что ВК:КС=1:2, биссектриса СМ пересекается с прямой АК в точке L,при этом АМ:МВ=1:4. Найдите площадь треугольника АВС,если площадь четырёхугольника MBKL равна 52.

Answer 1

Заклинания для таких задач :)))

Заклинание первое. Если у треугольников общая высота к основаниям, то отношение площадей равно отношению оснований (то есть сторон, к которым эта общая высота проведена).

Пусть h1 - расстояние от вершины В до АС в каком-то треугольнике АВС, и в другом треугольнике А'C'B сторона А'C', A' и C' - лежат на АС, вершина В общая. Тогда h1 и есть общая высота, Sabc = AC*h1/2; Sba'c' = A'C'*h1/2; ну, и осталось поделить одно на другое. Важно, чтобы стороны АС и А'С' лежали на одной прямой, и треугольники АВС и А'ВС' имели общую вершину В.

Заклинание второе. Если у треугольников общий угол, а стороны этого угла в треугольниках относятся, как p1/q1 и p2/q2, то площади относятся как (p1/q1)*(p2/q2); Никакого подобия тут нет! Это довольно просто увидеть из формулы для площади S = a*b*sinC/2;

Вот теперь оружие готово, и можно стрелять.

Для начала найдем AL/AK.

Пусть ВК = x; КС = 2*х; ВС = 3*х;

Тогда АС/ВС = 1/4; АС = х*3/4;

AL/LK = AC/KC = 3/8;

AL = AK*3/(3 + 8) = AK*3/11;

AM = AB/5;

Поэтому (второе заклинание :)) Saml = Sabk*(1/5)*(3/11) = Sabk*3/55;

Sklmb = Sabk - Saml = Sabk*52/55;

Осталось произнести первое заклинание (для треугольников АВС и АВК, ясно, что площадь АВК равна трети от площади АВС).

Sabc = Sabk*3; :)))

Sabc = (55/52)*Sklmb*3 = 55*3 = 165;

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника и пропорциональностью площадей подобных фигур.

Расположение точек в треугольнике ABC

По условию задачи точка К лежит на стороне ВС так, что ВК:КС = 1:2. Биссектриса СМ пересекает прямую АК в точке L. Также известно, что АМ:МВ = 1:4.

Определение площади четырёхугольника MBKL

Площадь четырёхугольника MBKL равна 52.

Решение задачи

1. Пусть S1 - площадь треугольника АВС, а S2 - площадь треугольника АМС. 2. Так как АМ:МВ = 1:4, то площадь треугольника АМС будет составлять 1/5 от площади треугольника АВС: S2 = 1/5 * S1. 3. Так как биссектриса СМ делит треугольник АС на два треугольника, пропорция площадей этих треугольников будет равна пропорции сторон, на которые делится биссектриса: S2 : (S1 - S2) = CK : BK = 1 : 2. 4. Подставим значение S2 из пункта 2 в пропорцию из пункта 3: (1/5 * S1) : (S1 - 1/5 * S1) = 1 : 2. 5. Решим полученное уравнение относительно S1: - (1/5 * S1) : (4/5 * S1) = 1 : 2, - (1/5 * S1) * (5/4 * S1) = S1 : 2, - (1/4) * S1^2 = S1 : 2, - S1^2 = 2 * S1, - S1^2 - 2 * S1 = 0, - S1 * (S1 - 2) = 0. 6. Из полученного уравнения S1 * (S1 - 2) = 0 следует, что либо S1 = 0, либо S1 - 2 = 0. Очевидно, что площадь треугольника не может быть равна 0, поэтому S1 - 2 = 0. Следовательно, S1 = 2. 7. Таким образом, площадь треугольника АВС равна 2.

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 2.