Question

Неравенство 4x^2-4x-15<0

Answer 1

Решаем методом интервалов.

Answer 2

Чтобы решить неравенство 4x^2 - 4x - 15 < 0, мы должны найти значения x, для которых левая сторона неравенства отрицательна.

Для начала, давайте решим соответствующее квадратное уравнение 4x^2 - 4x - 15 = 0.

Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта. Дискриминант D определяется как D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае a = 4, b = -4 и c = -15.

D = (-4)^2 - 4(4)(-15) = 16 + 240 = 256

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь, чтобы решить неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Мы знаем, что квадратное уравнение имеет два корня, которые разделяют вещественную ось на три интервала. Мы можем выбрать по одной точке из каждого интервала и проверить знак выражения 4x^2 - 4x - 15 в каждой точке. Затем мы можем определить, в каких интервалах выражение отрицательно.

Интервалы: 1) (-∞, x1) 2) (x1, x2) 3) (x2, +∞)

Где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.

Давайте найдем корни квадратного уравнения, используя формулу корней:

x1 = (-b - √D) / (2a) = (-(-4) - √256) / (2 * 4) = (4 - 16) / 8 = -12 / 8 = -3/2

x2 = (-b + √D) / (2a) = (-(-4) + √256) / (2 * 4) = (4 + 16) / 8 = 20 / 8 = 5/2

Теперь мы можем выбрать точки для проверки в каждом интервале: 1) (-∞, -3/2) 2) (-3/2, 5/2) 3) (5/2, +∞)

Давайте возьмем по одной точке из каждого интервала: 1) x = -2 2) x = 0 3) x = 3

Подставляя значения x в выражение 4x^2 - 4x - 15, получаем: 1) 4(-2)^2 - 4(-2) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0 2) 4(0)^2 - 4(0) - 15 = 0 - 0 - 15 = -15 < 0 3) 4(3)^2 - 4(3) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0

Таким образом, мы видим, что выражение 4x^2 - 4x - 15 < 0 в интервале (-3/2, 5/2).

Итак, решением неравенства 4x^2 - 4x - 15 < 0 является интервал (-3/2, 5/2).