Question

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+5x+6 , x=-1, x=2, y=0

Answer 1

Решение Вашего задания во вложении

 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы должны сначала определить точки пересечения этих линий. Затем мы можем использовать интеграл, чтобы найти площадь между этими графиками.

Первым шагом является определение точек пересечения. У нас есть две линии: y = x^2 + 5x + 6 и x = -1. Чтобы найти точку пересечения с x = -1, заменим x в уравнении первой линии на -1 и решим уравнение:

y = (-1)^2 + 5(-1) + 6 y = 1 - 5 + 6 y = 2

Таким образом, точка пересечения с x = -1 равна (-1, 2).

Теперь найдем точку пересечения с x = 2. Подставим x = 2 в уравнение первой линии:

y = (2)^2 + 5(2) + 6 y = 4 + 10 + 6 y = 20

Таким образом, точка пересечения с x = 2 равна (2, 20).

Теперь у нас есть две точки: (-1, 2) и (2, 20). Мы можем использовать интеграл для вычисления площади между этими точками. Поскольку фигура ограничена линией y = 0, мы будем интегрировать разность между графиком первой линии и линией y = 0.

Итак, площадь фигуры может быть вычислена следующим образом:

1. Определение точек пересечения - Точка пересечения с x = -1: (-1, 2) - Точка пересечения с x = 2: (2, 20)

2. Вычисление площади Площадь фигуры можно вычислить с использованием интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - x-координаты точек пересечения, f(x) - уравнение первой линии (y = x^2 + 5x + 6), g(x) - уравнение второй линии (y = 0).

Таким образом, площадь фигуры равна:

S = ∫[-1, 2] (x^2 + 5x + 6 - 0) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

S = ∫[-1, 2] (x^2 + 5x + 6) dx

Для упрощения интегрирования, раскроем скобки и произведем необходимые вычисления:

S = ∫[-1, 2] (x^2 + 5x + 6) dx S = ∫[-1, 2] (x^2) dx + ∫[-1, 2] (5x) dx + ∫[-1, 2] (6) dx S = (1/3)x^3 + (5/2)x^2 + 6x | [-1, 2] S = [(1/3)(2)^3 + (5/2)(2)^2 + 6(2)] - [(1/3)(-1)^3 + (5/2)(-1)^2 + 6(-1)] S = [(8/3) + (20/2) + 12] - [(-1/3) + (5/2) - 6] S = (8/3) + 10 + 12 + (1/3) - (5/2) + 6 S = 8 + 10 + 12 + 2/3 - 5/2 + 6 S = 36 + 2/3 - 5/2

Выполним вычисления:

S = (108 + 2)/3 - (15 + 15)/6 S = 110/3 - 30/6 S = 110/3 - 5 S = (110 - 15)/3 S = 95/3

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = x^2 + 5x + 6, x = -1, x = 2 и y = 0 равна 95/3 или приближенно 31.67 (с округлением до двух знаков после запятой).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.