Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции : f(x)=0,5x^2-4Inx , x принадлежит [1;е]

Answer 1

$y=0,5x^2-4\, lnx\; ,\; \; x\in [\, 1,e\, ]\\\\y'=x-\frac{4}{x}=\frac{x^2-4}{x}=0\; ,\; \; x^2-4=0\; \; \to \; \; x=\pm 2,\; x\ne 0\\\\x=-2\notin [\, 1,e\, ]\\\\y(1)=0,5-4\, ln1=0,5-4\cdot 0=0,5\\\\y(2)=0,5\cdot 4-4\, ln2=2-4ln2\approx -0,77\\\\y(e)=0,5\cdot e^2-4\cdot lne=0,5\cdot e^2-4\approx -0,36\\\\y_{naimen}=y(2)=2-4\, ln2\\\\y_{naibol}=y(1)=0,5$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 0.5x^2 - 4ln(x) на отрезке [1;е], необходимо найти точки экстремума и проверить значения функции в этих точках, а также на границах данного отрезка.

1. Найдем точки экстремума, приравняв производную функции к нулю: f'(x) = 0.5x^2 - 4/x = 0.

Упростим уравнение: x^3 - 8 = 0.

Решим это уравнение: x^3 = 8, x = 2.

Таким образом, точка экстремума находится в точке x = 2.

2. Проверим значения функции в найденной точке экстремума и на границах отрезка [1;е]:

- При x = 2: f(2) = 0.5*2^2 - 4ln(2) = 2 - 4ln(2).

- При x = 1: f(1) = 0.5*1^2 - 4ln(1) = 0.

- При x = е: f(е) = 0.5*е^2 - 4ln(е).

3. Подставим значения границ отрезка [1;е] в функцию:

- При x = 1: f(1) = 0.5*1^2 - 4ln(1) = 0.

- При x = е: f(е) = 0.5*е^2 - 4ln(е).

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 0.5x^2 - 4ln(x) на отрезке [1;е] будут зависеть от значений в точке экстремума x = 2 и на границах отрезка x = 1 и x = е. Необходимо вычислить численные значения для получения конкретных ответов.