Question

Проведите деление с остатком x^7-1 на x^3+x+1

Answer 1

Решение в приложенном изображении

Answer 2

Остаток (-2+2x^2) частное x^4-x^2-x+1

Answer 3

Для проведения деления многочленов \(x^7 - 1\) на \(x^3 + x + 1\) с остатком, воспользуемся алгоритмом длинного деления. Этот алгоритм похож на деление чисел, но вместо цифр здесь используются степени \(x\).

Длинное деление многочленов

1. Расположим многочлены так, чтобы степень делимого была больше или равна степени делителя. В данном случае:

Делимое: \(x^7 - 1\) Делитель: \(x^3 + x + 1\)

2. Для начала домножим делитель на \(x^4\) чтобы получить \(x^7\), затем вычтем получившийся результат из делимого. Это даст частное и остаток.

3. Начнем деление:

\[ \begin{array}{r|l} x^4 & \\ x^3 + x + 1 & x^7 - 1 \\ - (x^7 + x^5 + x^4) & \\ & - x^5 - x^4 -1 \\ \end{array} \]

4. Получаем частное \(x^4\) и остаток \(-x^5 - x^4 -1\).

Ответ

Результат деления многочлена \(x^7 - 1\) на \(x^3 + x + 1\) с остатком:

Частное: \(x^4\) Остаток: \(-x^5 - x^4 - 1\)