Question

Найдите, при каком значении a уравнение х²-(a+3)*x+a+5=0 имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Answer 1

Вот решение,пожалуйста

Answer 2

Для того чтобы найти значение `a`, при котором уравнение `x² - (a + 3)x + a + 5 = 0` имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого, мы можем использовать свойства квадратных уравнений.

Давайте решим данное уравнение и найдем условия, при которых оно удовлетворяет заданным условиям.

Решение уравнения

Для начала, мы можем использовать метод дискриминанта, чтобы определить количество корней уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

где `a`, `b` и `c` - коэффициенты уравнения `ax² + bx + c = 0`.

В нашем случае, уравнение `x² - (a + 3)x + a + 5 = 0` имеет коэффициенты `a = 1`, `b = -(a + 3)`, и `c = a + 5`. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-(a + 3))² - 4(1)(a + 5)

Упростим это выражение:

D = (a + 3)² - 4(a + 5)

Раскроем скобки:

D = a² + 6a + 9 - 4a - 20

D = a² + 2a - 11

Количество корней

Теперь, для того чтобы определить количество корней, мы можем использовать значение дискриминанта.

- Если `D > 0`, то уравнение имеет два различных корня. - Если `D = 0`, то уравнение имеет один корень (корень с кратностью 2). - Если `D < 0`, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, нам нужно найти значение `a`, при котором уравнение имеет два положительных корня. То есть, нам нужно найти такое значение `a`, при котором `D > 0` и оба корня положительны.

Нахождение значения a

Подставим `D > 0` в выражение для дискриминанта:

a² + 2a - 11 > 0

Теперь решим это неравенство. Мы можем использовать различные методы, например, графический метод или метод интервалов. Давайте воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем точки, где неравенство становится равенством:

a² + 2a - 11 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, метода квадратного корня или формулы дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

Здесь коэффициенты равны `a = 1`, `b = 2`, и `c = -11`. Подставим их в формулу:

D = 2² - 4(1)(-11) = 4 + 44 = 48

Так как `D > 0`, уравнение имеет два различных корня. По формуле дискриминанта получаем:

a₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √48) / (2 * 1) = (-2 + 4√3) / 2 = -1 + 2√3 a₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √48) / (2 * 1) = (-2 - 4√3) / 2 = -1 - 2√3

Получили два значения `a₁` и `a₂`, которые являются корнями квадратного уравнения.

2. Теперь возьмем точку между двумя корнями и проверим, в каком интервале неравенство выполняется:

Выберем точку `a = 0` (любую точку между `a₁` и `a₂`), и подставим ее в неравенство:

0² + 2(0) - 11 > 0

Получаем:

-11 > 0

Это неравенство не выполняется, значит, интервал, в котором неравенство выполняется, находится за пределами интервала между `a₁` и `a₂`.

3. Зная, что интервал между `a₁` и `a₂` не удовлетворяет неравенству, мы можем сделать вывод, что интервалы до `a₁` и после `a₂` удовлетворяют неравенству:

a < a₁ и a > a₂

a < -1 + 2√3 и a > -1 - 2√3

Таким образом, при значениях `a`, которые лежат в интервале `(-∞, -1 - 2√3) U (-1 + 2√3, +∞)`, уравнение `x² - (a + 3)x + a + 5 = 0` имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте знать.