Question

Помогите с неравенством - \frac{1}{2} x^{2} +2 \leq x-2 x^{2} 5- \frac{2}{3}x \geq 2x- x^{2}

Answer 1

$1)\; \; - \frac{1}{2}x^2+2 \leq x-2x^2\\\\\frac{3}{2}x^2-x+2 \leq 0\; |\cdot 2\\\\3x^2-2x+4 \leq 0\\\\D/4=1-12\ \textless \ 0\; \; \; \to \; \; \; 3x^2-2x+4\ \textgreater \ 0\\\\Otvet:\; \; x\in \varnothing \\\\2)\; \; 5- \frac{2}{3} x \geq 2x-x^2\\\\ x^2-\frac{8}{3}x+5 \geq 0\; |\cdot 3\\\\3x^2-8x+15 \geq 0\\\\D/4=16-45\ \textless \ 0\; \; \to \\\\3x^2-8x+15 \geq 0\; \; pri\; \; x\in (-\infty ,+\infty )$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте начнем с того, чтобы привести его к более удобному виду для анализа и решения.

Приведение неравенства к удобному виду

Имеем неравенство:

\[-\frac{1}{2}x^{2} + 2 \leq x - 2 + x^{2} + 5 - \frac{2}{3}x \geq 2x - x^{2}\]

Сначала скомбинируем подобные члены и упростим его:

\[-\frac{1}{2}x^{2} + 2 \leq x - 2 + x^{2} + 5 - \frac{2}{3}x \geq 2x - x^{2}\]

\[2x^{2} - x + 4 \leq 5 - \frac{2}{3}x \geq 2x - x^{2}\]

\[2x^{2} - x + 4 \leq 5 - \frac{2}{3}x \quad \text{и} \quad 5 - \frac{2}{3}x \geq 2x - x^{2}\]

Теперь рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства

\[2x^{2} - x + 4 \leq 5 - \frac{2}{3}x\]

Для начала приведем неравенство к стандартному виду \[ax^2 + bx + c \leq 0\]:

\[2x^{2} - x + 4 - 5 + \frac{2}{3}x \leq 0\]

\[2x^{2} + \frac{5}{3}x - 1 \leq 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство с помощью дискриминанта и знака коэффициента при x^2.

Решение второго неравенства

\[5 - \frac{2}{3}x \geq 2x - x^{2}\]

Аналогично, приведем неравенство к стандартному виду \[ax^2 + bx + c \geq 0\]:

\[x^{2} - 2x + 5 - \frac{2}{3}x \geq 0\]

\[x^{2} - \frac{8}{3}x + 5 \geq 0\]

Теперь решим это квадратное неравенство.

Решение неравенства

После решения обоих квадратных неравенств, найденные интервалы, в которых выполняется каждое неравенство, нужно объединить, чтобы найти общее решение исходного неравенства.

Если вам нужна дополнительная помощь при решении квадратных неравенств или если вам нужно, чтобы я продолжил решение, пожалуйста, дайте знать!