Question

Решить неравенство log_2(x^2-6x+24)<4

Answer 1

$log _{2}( x^{2} -6x+24)\ \textless \ 4\\\\ x^{2} -6x+24\ \textless \ 16\\\\ x^{2} -6x+8\ \textless \ 0\\\\(x-4)(x-2)\ \textless \ 0$
      +                  -                      +
________₀__________₀_________
               2                    4
x ∈ (2 ; 4)
ОДЗ: x² - 6x + 24 > 0
D = 36 - 4 * 1 * 24 = 36 - 96 = - 60
D < 0 , старший коэффициент равен 1 > 0 , значит
x² - 6x + 24 > 0 при любых значениях x.
Ответ: x ∈ (2 ; 4)
        

Answer 2

Чтобы решить неравенство log_2(x^2-6x+24) < 4, нам нужно использовать свойства логарифмов и решить соответствующее уравнение.

Свойства логарифмов

1. log_a(b) < c эквивалентно a^c > b 2. log_a(b) > c эквивалентно a^c < b

Решение неравенства

Давайте применим первое свойство логарифмов, чтобы решить данное неравенство:

log_2(x^2-6x+24) < 4

2^4 > x^2-6x+24

16 > x^2-6x+24

Перенесем все в левую часть:

x^2-6x+24-16 > 0

x^2-6x+8 > 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Давайте применим метод дискриминанта, чтобы найти его корни.

Метод дискриминанта

Для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

1. Если D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня. 2. Если D = 0, уравнение имеет один вещественный корень. 3. Если D < 0, уравнение не имеет вещественных корней.

Решение квадратного уравнения

Для уравнения x^2-6x+8 = 0, a = 1, b = -6 и c = 8. Вычислим дискриминант:

D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4

Так как D > 0, у нас есть два различных вещественных корня. Мы можем использовать формулу дискриминанта для их вычисления:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-(-6) ± √4) / 2(1)

x = (6 ± 2) / 2

x1 = (6 + 2) / 2 = 8 / 2 = 4

x2 = (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2

Проверка корней

Теперь мы имеем два корня: x1 = 4 и x2 = 2. Давайте проверим, в каких интервалах неравенство x^2-6x+8 > 0 выполняется.

Для этого мы можем построить таблицу знаков:

| | x < 2 | 2 < x < 4 | x > 4 | |---|-------|-----------|------| | x^2-6x+8 | + | - | + |

Таким образом, неравенство x^2-6x+8 > 0 выполняется для x < 2 и x > 4.

Ответ

Итак, решение неравенства log_2(x^2-6x+24) < 4 состоит из двух интервалов: x < 2 и x > 4.