Question

Сумма второго, четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15, а сумма квадратов третьего и пятого членов этой же прогрессии равна 58.Найдите седьмой член прогрессии

Answer 1

3a1+9d=15
a1+3d=5
(a1+2d)^2+(a1+4d)^2=58
(5-d)^2+(5+d)^2=58
25+d^2-10d+25+d^2+10d=58
50+2d^2=58
2d^2=8
d^2=4
d=2 , прогрессия возрастающая
a7=a1+6d=a1+3d+3d=5+3*2=11

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а разность прогрессии равна d.

Тогда второй член равен а + d, четвертый член равен а + 3d, а шестой член равен а + 5d.

Из условия задачи получаем следующую систему уравнений:

(a + d) + (а + 3d) + (а + 5d) = 15 (1) (а + 3d)^2 + (а + 5d)^2 = 58 (2)

Раскроем скобки в уравнении (2):

a^2 + 6ad + 9d^2 + a^2 + 10ad + 25d^2 = 58

Соберем все члены в одну сторону и приведем подобные:

2a^2 + 16ad + 34d^2 - 58 = 0 (3)

Теперь решим систему уравнений (1) и (3).

Из уравнения (1) получаем:

3а + 9d = 15

Разделим это уравнение на 3:

а + 3d = 5 (4)

Теперь подставим выражение для а из уравнения (4) в уравнение (3):

2(5 - 3d)^2 + 16(5 - 3d)d + 34d^2 - 58 = 0

Раскроем скобки:

2(25 - 30d + 9d^2) + 16(5d - 3d^2) + 34d^2 - 58 = 0

Упростим:

50 - 60d + 18d^2 + 80d - 48d^2 + 34d^2 - 58 = 0

Соберем подобные члены:

4d^2 + 22d - 8 = 0

Разложим на множители:

(2d - 1)(2d + 8) = 0

Получаем два возможных значения для d:

d1 = 1/2 d2 = -4

Подставим эти значения в уравнение (4) и найдем соответствующие значения для а:

для d1: а + 3 * 1/2 = 5 а + 3/2 = 5 а = 5 - 3/2 а = 8/2 - 3/2 а = 5/2

для d2: а + 3 * (-4) = 5 а - 12 = 5 а = 5 + 12 а = 17

Таким образом, у нас две прогрессии:

а1 = 5/2, d1 = 1/2 а2 = 17, d2 = -4

Седьмой член прогрессии для а1 и d1:

a1 + 6 * d1 = 5/2 + 6 * 1/2 = 5/2 + 6/2 = 11/2 = 5.5

Седьмой член прогрессии для а2 и d2:

a2 + 6 * d2 = 17 + 6 * (-4) = 17 - 24 = -7

Ответ: седьмой член прогрессии может быть равен либо 5.5, либо -7.