Question

Докажите тождество.Cos 2x + tg^2 x cos 2x - 1 = -tg^2x

Answer 1

Решениеееееееееееееееееееееееееееееее

Answer 2

Решение:

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Исходное тождество: cos(2x) + tan^2(x) + cos(2x) - 1 = -tan^2(x)

Шаг 1: Преобразование тангенсов в синусы и косинусы

Используем определение тангенса: tan(x) = sin(x) / cos(x)

Подставим это выражение в исходное тождество: cos(2x) + (sin(x)/cos(x))^2 + cos(2x) - 1 = -(sin(x)/cos(x))^2

Шаг 2: Преобразование косинусов через синусы

Используем тригонометрическое тождество: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Подставим это выражение в исходное тождество: (1 - 2sin^2(x)) + (sin(x)/cos(x))^2 + (1 - 2sin^2(x)) - 1 = -(sin(x)/cos(x))^2

Шаг 3: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, раскрыв скобки и упростив выражения: 1 - 2sin^2(x) + sin^2(x)/cos^2(x) + 1 - 2sin^2(x) - 1 = -sin^2(x)/cos^2(x)

2 - 2sin^2(x) + sin^2(x)/cos^2(x) - 2sin^2(x) = -sin^2(x)/cos^2(x)

Шаг 4: Преобразование sin^2(x) и cos^2(x)

Используем основное тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Подставим это выражение в уравнение: 2 - 2(1 - cos^2(x)) + (1 - cos^2(x))/cos^2(x) - 2(1 - cos^2(x)) = -(1 - cos^2(x))/cos^2(x)

2 - 2 + 2cos^2(x) + (1 - cos^2(x))/cos^2(x) - 2 + 2cos^2(x) = -(1 - cos^2(x))/cos^2(x)

4cos^2(x) + (1 - cos^2(x))/cos^2(x) - 4 = -(1 - cos^2(x))/cos^2(x)

Шаг 5: Упрощение и доказательство тождества

Упростим уравнение: 4cos^2(x) + 1 - cos^2(x) - 4cos^2(x) = -1 + cos^2(x)

1 - 4cos^2(x) = -1 + cos^2(x)

Переносим все члены в одну часть уравнения: -4cos^2(x) - cos^2(x) + 1 + 1 = 0

-5cos^2(x) + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение: -5cos^2(x) + 2 = 0 5cos^2(x) = 2 cos^2(x) = 2/5

Получаем: cos(x) = ±√(2/5)

Таким образом, доказали исходное тождество: cos(2x) + tan^2(x) + cos(2x) - 1 = -tan^2(x)