Question

Исследовать функцию методами дифференциального исчесления: y=-x^3+6x^2+5

Answer 1

Y=x³+6x²+5   определена на всей оси х, ни четная, ни нечетная.

y'=3x²+12x=3x(x+4)    корни производной y'=0   x=0   x=-4

области убывания и возрастания

-------- -4------------ 0----------------
      +             -                +
функция возрастает х∈(-∞, -4)∪(0,∞)
убывает х∈(-4, 0)   при х=-4 максимум  умах=-64+6*16+5=37
при х=0 минимум равный 5

y''=6x+12=0    x= -2  точка перегиба.

Answer 2

Для исследования функции y = -x^3 + 6x^2 + 5 методами дифференциального исчисления мы можем выполнить следующие шаги: нахождение производных, определение экстремумов, исследование на выпуклость и вогнутость, а также построение графика функции.

Нахождение производных

Для начала найдем производные функции y по x. Первая производная функции y по x будет равна y' = -3x^2 + 12x, а вторая производная (производная первой производной) будет y'' = -6x + 12.

Определение экстремумов

Экстремумы функции могут находиться в тех точках, где первая производная равна нулю или не существует. Найдем точки, где y' = 0: - -3x^2 + 12x = 0 - x(-3x + 12) = 0 - x = 0 или x = 4

Теперь найдем соответствующие значения y в этих точках: - Для x = 0: y(0) = 5 - Для x = 4: y(4) = -64 + 96 + 5 = 37

Таким образом, у нас есть две критические точки: (0, 5) и (4, 37).

Исследование на выпуклость и вогнутость

Чтобы определить выпуклость и вогнутость функции, проанализируем знак второй производной в окрестностях критических точек. - Если y'' > 0, то функция выпуклая (вверх); - Если y'' < 0, то функция вогнутая (вниз).

Для x < 4: y'' = -6x + 12. При x = 0: y'' = 12 > 0, значит, функция выпуклая (вверх). Для x > 4: y'' = -6x + 12. При x = 5: y'' = -30 < 0, значит, функция вогнутая (вниз). Таким образом, у нас есть точка перегиба при x = 4.

Построение графика

Теперь мы можем использовать полученную информацию, чтобы построить график функции y = -x^3 + 6x^2 + 5. График позволит визуально увидеть экстремумы, точку перегиба, а также понять общий вид функции.

this text is bolded Для построения графика можно использовать программы для визуализации данных, такие как Python с библиотекой Matplotlib, или онлайн-инструменты для построения графиков.

Если вам нужен код для построения графика функции в Python, я могу предоставить соответствующий пример кода.