Question

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y=(x-1)^2+1 и y = -(x-3)^2+5.

Answer 1

Решение в приложении.  

Answer 2

Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной графиками функций \( y = (x-1)^2 + 1 \) и \( y = -(x-3)^2 + 5 \), мы можем воспользоваться методом нахождения площади между кривыми. Этот метод состоит в том, чтобы найти разность между значениями интегралов функций, которые ограничивают область.

Нахождение площади между кривыми

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций \( y = (x-1)^2 + 1 \) и \( y = -(x-3)^2 + 5 \). После этого мы сможем построить графики и определить область, которую они ограничивают.

Нахождение точек пересечения

Для нахождения точек пересечения приравняем уравнения к друг другу и решим полученное уравнение: \[ (x-1)^2 + 1 = -(x-3)^2 + 5 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ x^2 - 2x + 1 + 1 = -x^2 + 6x - 9 + 5 \] \[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6x - 4 \] \[ 2x^2 - 8x + 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где a = 2, b = -8, c = 6.

\[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4*2*6}}{2*2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4} \] \[ x = \frac{8 \pm 4}{4} \]

Таким образом, получаем два значения x: x1 = 3 и x2 = 1.

Построение графиков

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем построить графики функций \( y = (x-1)^2 + 1 \) и \( y = -(x-3)^2 + 5 \) и определить область, которую они ограничивают.

Вычисление площади

После того, как мы определили область, ограниченную графиками функций, мы можем вычислить площадь этой области, используя интегралы.

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx \]

Где \( f(x) \) и \( g(x) \) - уравнения функций, а \( x_1 \) и \( x_2 \) - точки пересечения графиков.

Решение интеграла

Подставим уравнения функций \( y = (x-1)^2 + 1 \) и \( y = -(x-3)^2 + 5 \) в интеграл и вычислим значение площади.

\[ S = \int_{1}^{3} |(x-1)^2 + 1 - (-(x-3)^2 + 5)| \, dx \]

\[ S = \int_{1}^{3} |(x-1)^2 + 1 + (x-3)^2 - 5| \, dx \]

\[ S = \int_{1}^{3} ((x-1)^2 + 1 + (x-3)^2 - 5) \, dx \]

\[