Question

Найти производную в точке x0=0 a) f(x)=sin (x^3+x-pi/4) b) f(x)=tg (x^2+pi/6)

Answer 1

X0=0
1.  f(x)=sin(x³+x-π/4)  f'(x)=cos(x³+x-π/4)(3x²+1)  f'(0)=cos(-π/4)*1=
     =cos(π/4)=√2/2

2.  f(x)=tg(x²+π/6)   f'(x)=[1/cos²(x²+π/6)](2x)   f'(0)=0

Answer 2

Для нахождения производной функции в точке x₀=0, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепного правила) и правило дифференцирования тригонометрических функций.

Нахождение производной f(x)=sin(x^3+x-π/4) в точке x₀=0:

Для функции f(x)=sin(x^3+x-π/4) мы будем использовать цепное правило дифференцирования. Первым шагом будет нахождение производной внутренней функции (x^3+x-π/4), затем производной внешней функции (sin(u)), и, наконец, умножением этих производных вместе.

1. Найдем производную внутренней функции: f'(x) = 3x^2 + 1

2. Теперь найдем производную внешней функции (sin(u)): g'(u) = cos(u)

3. Подставим значение внутренней функции: u = x^3+x-π/4 g'(u) = cos(x^3+x-π/4)

4. Используем цепное правило: (sin(u))' = (sin(u))' * (u)' = cos(x^3+x-π/4) * (3x^2 + 1)

5. Теперь подставим x=0, чтобы найти производную в точке x₀=0: f'(0) = cos(-π/4) * (3*0^2 + 1) f'(0) = cos(-π/4)

Нахождение производной f(x)=tg(x^2+π/6) в точке x₀=0:

Для функции f(x)=tg(x^2+π/6) мы также будем использовать цепное правило дифференцирования. Сначала найдем производную внутренней функции (x^2+π/6), затем производной внешней функции (tg(u)), и умножим эти производные вместе.

1. Найдем производную внутренней функции: f'(x) = 2x

2. Теперь найдем производную внешней функции (tg(u)): g'(u) = sec^2(u)

3. Подставим значение внутренней функции: u = x^2+π/6 g'(u) = sec^2(x^2+π/6)

4. Используем цепное правило: (tg(u))' = (tg(u))' * (u)' = sec^2(x^2+π/6) * 2x

5. Теперь подставим x=0, чтобы найти производную в точке x₀=0: f'(0) = sec^2(π/6) * 2*0 f'(0) = sec^2(π/6)

Таким образом, мы нашли производные функций f(x)=sin(x^3+x-π/4) и f(x)=tg(x^2+π/6) в точке x₀=0.