Question

3sin2x-4sinx×cosx+5cos2x-2=0

Answer 1

3sin2x-4sinx×cosx+5cos2x-2=0
3sin2x-2sin2x+5cos2x=2
sin2x+5cos2x=2

sin2x=1                     5cos2x=1
2x=π/2+2πn              cos2x=1/5
x=π/2+πn                  x= +/-1/2arcсos1/5 + πn

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его и найдем значения x, при которых уравнение будет выполняться.

Уравнение имеет вид: 3sin(2x) - 4sin(x)cos(x) + 5cos(2x) - 2 = 0.

Давайте разделим это уравнение на 2, чтобы упростить вычисления:

(3/2)sin(2x) - 2sin(x)cos(x) + (5/2)cos(2x) - 1 = 0.

Заметим, что мы можем использовать формулу двойного угла для sin(2x) и cos(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Подставим эти значения в уравнение:

(3/2)(2sin(x)cos(x)) - 2sin(x)cos(x) + (5/2)(cos^2(x) - sin^2(x)) - 1 = 0.

Упростим выражение:

3sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) + (5/2)cos^2(x) - (5/2)sin^2(x) - 1 = 0.

Объединим подобные слагаемые:

sin(x)cos(x) + (5/2)cos^2(x) - (5/2)sin^2(x) - 1 = 0.

Теперь мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

sin(x)cos(x) + (5/2)cos^2(x) - (5/2)(1 - cos^2(x)) - 1 = 0.

Раскроем скобки:

sin(x)cos(x) + (5/2)cos^2(x) - (5/2) + (5/2)cos^2(x) - 1 = 0.

Сгруппируем слагаемые:

2cos^2(x) + sin(x)cos(x) - 3/2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Пусть t = cos(x), тогда уравнение примет вид:

2t^2 + sin(x)t - 3/2 = 0.

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение. Выражение под корнем в дискриминанте равно sin^2(x) - 4(2)(-3/2) = sin^2(x) + 12.

Если дискриминант больше или равен нулю, у нас есть действительные корни.

(sin(x))^2 + 12 >= 0.

Так как (sin(x))^2 >= 0 для любого значения x, то неравенство всегда выполняется.

Теперь рассмотрим случай, когда дискриминант меньше нуля.

(sin(x))^2 + 12 < 0.

Так как (sin(x))^2 >= 0, неравенство никогда не выполняется.

Таким образом, у нашего уравнения нет решений.

Вывод: Данное уравнение 3sin(2x) - 4sin(x)cos(x) + 5cos(2x) - 2 = 0 не имеет решений.