Question

Постройте график функции y=x^4-25x^2+144/x^2+x-12 и определите, при каких значениях параметра K прямая y=kx+3 имеет с этим графиком не более одной общей точки. Пожалуйста помогите с рисунком.

Answer 1

Сначала сокращаем функцию и находим те точки,которые мы обязаны выколоть:

Раскладываем числитель с заменой a=x²:
$a^2-25a+144=0 \\ D=625-576=49 \\ a_1= \frac{25+7}{2} =16 \\ a_2= \frac{25-7}{2} =9$
Обратная замена:$x^2=a_1=16 \\ x_{1,2}= \frac{+}{} 4 \\ x^2=a_2=9 \\ x_{3,4}= \frac{+}{} 3$

Итак,числитель имеет вид (x-4)(x+4)(x-3)(x+3).

Раскладываем знаменатель и выясняем,при каких значениях он равен нулю:
 $x^2+x-12=0 \\ D=1+48=49 \\x_1= \frac{-1+7}{2} =3 \\ x_2= \frac{-1-7}{2} =-4$
Знаменатель имеет вид (x-3)(x+4). На будущем графике мы обязаны выколоть точки при x=3 и x=-4.

Сокращаем функцию:$y= \frac{(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+4)} =(x+3)(x-4)=x^2-x-12$

Строим график функции y=x²-x-12 с выколотыми точками (на рисунке это парабола синего цвета.Точки выколоты).
Мы обязаны знать и ординаты этих точек: При x=3 y=-6,при x=-4 y=8.
Определим функции прямых,которые будут иметь с графиком одну общую точку:
$y=kx+3 \\ 1) 8=-4k+3 \\ -4k=5 \\ k=-1.25 \\ 2)-6=3k+3 \\ 3k=-9 \\ k=-3$.
Прямые y=-1.25x+3(на рисунке красным цветом) и y=-3x+3(жёлтым) имеют с данным графиком одну общую точку. При остальных значениях k семейство прямых y=kx+3 имеет две общие точки.

P.S.: Надеюсь,всё понятно.

Answer 2

Для начала построим график функции y=x^4-25x^2+144/x^2+x-12. Для этого нам необходимо найти нули функции, экстремумы и точки перегиба.

Нули функции: Для нахождения нулей функции, мы решим уравнение x^4-25x^2+144=0. Обозначим x^2 = t, тогда уравнение примет вид t^2-25t+144=0. Решим это квадратное уравнение и найдем значения t. Затем найдем соответствующие значения x.

Экстремумы и точки перегиба: Чтобы найти экстремумы и точки перегиба, найдем производные функции и приравняем их к нулю. Затем найдем вторую производную и анализируем ее знак на интервалах.

Построим график функции y=x^4-25x^2+144/x^2+x-12, используя найденные нули, экстремумы и точки перегиба.

Теперь определим, при каких значениях параметра K прямая y=kx+3 имеет с этим графиком не более одной общей точки. Для этого нам необходимо найти точки пересечения прямой с графиком функции.

Построим график прямой y=kx+3 и найдем значения K, при которых прямая имеет не более одной общей точки с графиком функции.

Таким образом, мы можем определить значения параметра K, при которых прямая y=kx+3 имеет не более одной общей точки с графиком функции y=x^4-25x^2+144/x^2+x-12.