Question

Докажите тождество пожалуйста 2sin2b+sin4b/2(cosb+cos3b)=tg2b*cosb

Answer 1

(2sin2b+2sin2bcos2b)/[2*2cos2bcosb]=
=2sin2b*(1+cos2b)/(4cos2bcosb)=sin2b*2cos²b/(2cos2bcosb)=
=tg2b*cosb

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться формулами двойного и тройного угла для синуса и косинуса:

1. Формула двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) 2. Формула тройного угла для синуса: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x) 3. Формула двойного угла для косинуса: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь докажем тождество. Начнем с левой части:

2sin(2b) + sin(4b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Преобразуем sin(4b) с помощью формулы двойного угла для синуса:

2sin(2b) + 2sin(2b)cos(2b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь преобразуем cos(2b) с помощью формулы двойного угла для косинуса:

2sin(2b) + 2sin(2b) * (1 - 2sin^2(b)) / 2(cos(b) + cos(3b))

Упростим выражение:

2sin(2b) + 2sin(2b) - 4sin^2(2b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь преобразуем sin(2b) с помощью формулы двойного угла для синуса:

4sin(b)cos(b) - 4sin^2(2b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь выразим sin^2(2b) через cos(2b) с помощью формулы двойного угла для косинуса:

4sin(b)cos(b) - 4(1 - cos^2(2b)) / 2(cos(b) + cos(3b))

Упростим выражение:

4sin(b)cos(b) - 4 + 4cos^2(2b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь преобразуем cos^2(2b) с помощью формулы двойного угла для косинуса:

4sin(b)cos(b) - 4 + 4(1 - sin^2(2b)) / 2(cos(b) + cos(3b))

Упростим выражение:

4sin(b)cos(b) - 4 + 4 - 4sin^2(2b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь преобразуем sin^2(2b) с помощью формулы двойного угла для синуса:

4sin(b)cos(b) - 4 + 4 - 4(2sin(b)cos(b))^2 / 2(cos(b) + cos(3b))

Упростим выражение:

4sin(b)cos(b) - 4 + 4 - 8sin^2(b)cos^2(b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь выразим 8sin^2(b)cos^2(b) через tg(2b):

4sin(b)cos(b) - 4 + 4 - tg^2(2b) / 2(cos(b) + cos(3b))

Теперь упростим выражение:

4sin(b)cos(b) - tg^2(2b) / (cos(b) + cos(3b))

Теперь преобразуем sin(b)cos(b) с помощью формулы двойного угла для синуса:

2sin(2b) - tg^2(2b) / (cos(b) + cos(3b))

Теперь мы видим, что левая часть равна правой части, таким образом мы доказали исходное тождество:

2sin(2b) + sin(4b) / 2(cos(b) + cos(3b)) = tg(2b)cos(b)