Question

Докажите, что периодом функции y=f(x) является число Т:f(x)=3cos2x, T=Пи

Answer 1

Число Т называет периодом функции f(x), если для этой функции выполняется равенство f(x)=f(x+nT), где n - целое число. То есть у аргументу функции мы может прибавлять (или отнимать от него) сколько угодно периодов.

Проверяем:
$f(x)=3\cos2x \\\ f(x+nT)=f(x+\pi n )=3\cos2(x+ \pi n)=3\cos(2x+2 \pi n)$
Используя формулы приведения, получим:
$3\cos(2x+2 \pi n)=3\cos2x \Rightarrow f(x)=f(x+Tn)$
Значит, число п является периодом заданной функции.

Answer 2

Период функции y=f(x) определяется как наименьшее положительное число Т, такое что f(x+T) = f(x) для всех x.

Для функции f(x)=3cos(2x) период можно найти следующим образом:

f(x) = 3cos(2x) f(x+T) = 3cos(2(x+T))

Используя тригонометрическое тождество cos(a+b) = cos(a)cos(b)