Question

Один из катетов прямоугольного треугольника на 7 см меньше другого катета и на 8см меньше гипотенузе.Найдите гипотенузу

Answer 1

Пусть первый катет = а, второй = b, гипотенуза = c. По теореме Пифагора a²+b²=c²
Составим систему из трёх уравнений:
a+7=b
a+8=c
a²+b²=c²

Из второго уравнения ⇒ a=c-8
Подставим значения а  в первое уравнение ⇒ b=c-8+7=c-1
Подставим значения a и b в третье уравнение ⇒
(с-8)²+(с-1)²=с²
с²-16с+64+с²-2с+1-с²=0
с²-18с+65=0
c1=13
c2=5
Получается два ответа.
Ответ: 13 см и 5 см.

Answer 2

Давайте обозначим один из катетов прямоугольного треугольника как x см. Согласно условию, другой катет будет на 7 см больше, то есть (x + 7) см. Гипотенуза будет на 8 см больше первого катета, то есть (x + 8) см.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c, справедливо следующее уравнение:

a^2 + b^2 = c^2

В нашем случае, зная значения катетов и гипотенузы, мы можем записать:

x^2 + (x + 7)^2 = (x + 8)^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64

Сократим одинаковые члены и перенесем все в одну сторону:

x^2 - 2x - 15 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать квадратное уравнение:

(x - 5)(x + 3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 5 и x = -3. Отрицательное значение не имеет физического смысла, так как мы рассматриваем длины сторон треугольника, поэтому отбрасываем x = -3.

Таким образом, x = 5 см. Это значение соответствует меньшему катету. Другой катет будет на 7 см больше, то есть 12 см (5 + 7). Гипотенуза будет на 8 см больше первого катета, то есть 13 см (5 + 8).

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см.

Answer 3

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен x см, тогда второй катет будет равен (x + 7) см, а гипотенуза будет равна (x + 8) см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: x^2 + (x + 7)^2 = (x + 8)^2

Раскроем скобки и приведем подобные члены: x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64

Перенесем все члены в левую часть уравнения: 2x^2 - 2x - 15 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: D = (-2)^2 - 4*2*(-15) = 4 + 120 = 124

x1,2 = (-(-2) ± √124) / (2*2) = (2 ± √124) / 4 = (2 ± 2√31) / 4 = (1 ± √31) / 2

Таким образом, получаем два решения: x1 = (1 + √31) / 2 x2 = (1 - √31) / 2

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x1 не подходит. Таким образом, x2 = (1 - √31) / 2 см.

Теперь найдем гипотенузу: (x2 + 8) = ((1 - √31) / 2 + 8) ≈ 7.46 см

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна примерно 7.46 см.