Question

Помогите с уравнением: 4^cos2x+4^cos^2 x=3

Answer 1

$4^{cos 2x}+4^{cos^2 x}=3$
$4^{2cos^2 x-1}+4^{cos^2 x}-3=0$
$\frac{1}{4}*(4^{cos^2 x})^2+4^{cos^2 x}-3=0$
$4^{cos^2 }=t>0$
$\frac{1}{4}t^2+t-3=0$
$t^2+4t-12=0$
$(t+6)(t-2)=0$
$t+6=0;t_1=-6<0$
$t-2=0;t_2=2$

$4^{cos^2 x}=2$
$2^{2cos^2 x}=2^1$
$2cos^2 x=1$
$cos^2 x=\frac{1}{2}$
$\frac{1+cos 2x}{2}=\frac{1}{2}$
$1+cos 2x=1$
$cos 2x=0$
$2x=\frac{\pi}{2}+\pi*k$
k є Z
$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*k}{2}$
k є Z

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение 4^cos(2x) + 4^cos^2(x) = 3.

Для начала, преобразуем выражение 4^cos(2x) в более удобную форму. Мы знаем, что cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Таким образом, мы можем заменить cos(2x) на cos^2(x) - sin^2(x).

Теперь у нас получается уравнение: 4^(cos^2(x) - sin^2(x)) + 4^cos^2(x) = 3.

Далее, мы можем воспользоваться тем, что 4^a + 4^b = 3 можно преобразить в виде 4^a + 4^b - 3 = 0.

Таким образом, уравнение принимает вид: 4^(cos^2(x) - sin^2(x)) + 4^cos^2(x) - 3 = 0.

Теперь мы можем ввести новую переменную, например, z = 4^cos^2(x). Тогда уравнение примет вид: z^(1/2) - z + 1 - 3 = 0.

Решив это уравнение относительно z, мы сможем найти его значение, а затем подставить обратно в уравнение, чтобы найти значение x.

Обратите внимание, что решение этого уравнения может быть довольно сложным и требует использования тригонометрических и логарифмических функций.