Question

Помогите пожалуйста, срочно.Решите уравнение и найдите его наименьший положительный корень:ctgx/3=ctgπ/6

Answer 1

Ctgx/3=ctgπ/6
ctgx/3=√3
x/3=arctg√3+Пn, n∈Z
x/3=П/6+Пn, n∈Z
x=П/2+3Пn, n∈Z
x=П/2 - наименьший положительный корень

Answer 2

Решим данное уравнение по шагам.

Первым шагом заменим тангенсы на синусы и косинусы, используя известные тригонометрические тождества:

ctgx(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x)

ctg(π/6) = 1 / tan(π/6) = 1 / (√3 / 3) = 3 / √3 = √3

Теперь у нас есть уравнение:

cos(x)/sin(x) = √3 / 3

Поскольку у нас есть отношение двух тригонометрических функций, давайте приведем его к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель левой стороны на sin(x):

cos(x) * sin(x) / sin(x) = (√3 / 3) * sin(x)

По тригонометрическому тождеству sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем переписать левую сторону выражения:

sin(2x) = (√3 / 3) * sin(x)

Теперь, если мы поделим обе стороны на sin(x), получим:

sin(2x) / sin(x) = √3 / 3

Используя тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем заменить sin(2x) / sin(x) на 2cos(x):

2cos(x) = √3 / 3

Теперь делим обе стороны на 2:

cos(x) = (√3 / 3) / 2 = √3 / 6

Мы знаем, что наименьший положительный корень косинуса равен арккосинусу от этого значения. Таким образом, чтобы найти наименьший положительный корень, мы вычисляем:

x = arccos(√3 / 6)

Используя калькулятор или таблицу, мы находим:

x ≈ 0.7217 радиан

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения ctgx(x) = ctg(π/6) равен примерно 0.7217 радиан.