Question

Знайти інтеграл (x*sin(x))/(cos^2(x))dx

Answer 1

$\int \frac{x\cdot sinx}{cos^2x}dx=[\, u=x\; ,\; du=dx\; ,dv=\frac{sinx}{cos^2x}dx\; ,\\\\v=\int \frac{sinx\cdot dx}{cos^2x}=-\int \frac{d(cosx)}{cos^2x}=-\frac{(cosx)^{-1}}{-1}=\frac{1}{cosx}\, ]=\\\\=uv-\int v\cdot du=\frac{x}{cosx}-\int \frac{dx}{cosx}= \frac{x}{cosx} -\int \frac{cosx\, dx}{cos^2x}=\\\\=\frac{x}{cosx}-\int \frac{cosx\, dx}{1-sin^2x} =\frac{x}{cosx}+\int \frac{d(sinx)}{sin^2x-1}=\\\\=\frac{x}{cosx}+\frac{1}{2}\cdot ln\left |\frac{sinx-1}{sinx+1}\right |+C$

Answer 2

Знайти інтеграл (x*sin(x))/(cos^2(x))dx

Щоб знайти цей інтеграл, скористаємося методом інтегрування за частинами. Цей метод базується на формулі:

∫u dv = uv - ∫v du

де u та v - деякі функції, які вибираються таким чином, щоб спростити інтеграл.

Спочатку виберемо u та dv:

u = x ⇒ du = dx

dv = (sin(x))/(cos^2(x)) dx

Тепер знайдемо du та v:

du = dx

∫dv = ∫(sin(x))/(cos^2(x)) dx

Для знаходження інтегралу ∫(sin(x))/(cos^2(x)) dx скористаємося заміною. Позначимо t = cos(x), тоді dt = -sin(x) dx:

∫(sin(x))/(cos^2(x)) dx = -∫(1/t^2) dt = ∫(1/t^2) dt = -1/t = -1/cos(x)

Тепер знайдемо v:

v = -1/cos(x)

Тепер маємо усі необхідні компоненти для застосування формули інтегрування за частинами:

∫(x*sin(x))/(cos^2(x)) dx = uv - ∫v du

= x*(-1/cos(x)) - ∫(-1/cos(x)) dx

= -x/cos(x) + ∫(1/cos(x)) dx

Тепер знайдемо ∫(1/cos(x)) dx. Для цього скористаємося тригонометричним тотожністю:

sec(x) = 1/cos(x)

Отже, ∫(1/cos(x)) dx = ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Де C - константа інтегрування.

Таким чином, після підстановки отримаємо:

∫(x*sin(x))/(cos^2(x)) dx = -x/cos(x) + ln|sec(x) + tan(x)| + C

Отже, знайдений інтеграл:

∫(x*sin(x))/(cos^2(x)) dx = -x/cos(x) + ln|sec(x) + tan(x)| + C