Question

Найти первообразную функции a) f(x)=cos5x+1/cos^2x; б) f(x)=2x^3+4/x^2+3/x

Answer 1

А)F(x)=(sin5x)/5 + (tg 2x)/2+C

б)F(x)=2·(x⁴/4)+4·(x⁻²⁺¹/(-2+1))+3ln|x|+C
 
  F(x)=(x⁴/2)-(4/x)+3ln|x|+C

Answer 2

a) Для нахождения первообразной функции f(x) = cos5x + 1/cos^2x, сначала найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.

Для функции cos5x первообразной будет (1/5)sin5x, так как производная sin5x равна 5cos5x, и по правилу интегрирования, мы делим на производную аргумента, то есть на 5.

Для функции 1/cos^2x первообразной будет танgx, так как производная танgx равна sec^2x, и по правилу интегрирования, мы просто заменяем sec^2x на 1/cos^2x.

Таким образом, первообразная функции f(x) = cos5x + 1/cos^2x будет равна (1/5)sin5x + tanx + C, где C - произвольная постоянная.

б) Для функции f(x) = 2x^3 + 4/x^2 + 3/x, найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.

Для функции 2x^3 первообразной будет (1/2)x^4, так как производная x^4 равна 4x^3, и по правилу интегрирования, мы делим на производную аргумента, то есть на 4.

Для функции 4/x^2 первообразной будет (-4/x), так как производная (-4/x) равна 4/x^2, и по правилу интегрирования, мы просто интегрируем по степени.

Для функции 3/x первообразной будет 3ln|x|, так как производная 3ln|x| равна 3/x, и по правилу интегрирования, мы просто интегрируем логарифм.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2x^3 + 4/x^2 + 3/x будет равна (1/2)x^4 - 4/x + 3ln|x| + C, где C - произвольная постоянная.